1.混合高斯背景建模理論

混合高斯背景建模是基于像素樣本統計信息的背景表示方法，利用像素在較長時間內大量樣本值的概率密度等統計信息(如模式數量、每個模式的均值和標準差)表示背景，然后使用統計差分(如3σ原則)進行目標像素判斷，可以對復雜動態背景進行建模，計算量較大。
在混合高斯背景模型中，認為像素之間的顏色信息互不相關，對各像素點的處理都是相互獨立的。對于視頻圖像中的每一個像素點，其值在序列圖像中的變化可看作是不斷產生像素值的隨機過程，即用高斯分布來描述每個像素點的顏色呈現規律{單模態(單峰)，多模態(多峰)}。
對于多峰高斯分布模型，圖像的每一個像素點按不同權值的多個高斯分布的疊加來建模，每種高斯分布對應一個可能產生像素點所呈現顏色的狀態，各個高斯分布的權值和分布參數隨時間更新。當處理彩色圖像時，假定圖像像素點R、G、B三色通道相互獨立并具有相同的方差。對于隨機變量X的觀測數據集{x1,x2,…,xN}，xt=(rt,gt,bt)為t時刻像素的樣本，則單個采樣點xt其服從的混合高斯分布概率密度函數：


其中k為分布模式總數，η(xt,μi,t,τi,t)為t時刻第i個高斯分布，μi,t為其均值，τi,t為其協方差矩陣，δi,t為方差，I為三維單位矩陣，ωi,t為t時刻第i個高斯分布的權重。

2.混合高斯背景建模算法流程

1.每個新像素值Xt同當前K個模型按下式進行比較，直接找到匹配新像素值的分布模型，即同該模型的均值偏差在2.5σ內：
2.如果所匹配的模式符合背景要求，則該像素屬于背景，否則屬于前景。 3.各個模式權值按如下方式進行更新，其中a是學習速率，對于匹配的模式Mk,t=1,否則Mk,t=0，然后各模式的權重進行歸一化：
4.未匹配模式的均值μ和標準差σ不變，匹配模式的參數按照如下更新：

5.如果，第一步中沒有任何模式匹配，則權重最小的模式被替換，即該模式的均值為當前像素值，標準差為初始較大值，權重為較小值。 6.各模式根據w/a^2按降序排列，權重大、標準差小的模式排列在前。 7.選前B個模式作為背景，B滿足下式，參數T表示背景所占的比例：

3.MATLAB仿真與實踐

%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Author: Ziheng H. Shen @Tsinghua Univ. %HybridGaussModel @Digital Image Process Practice %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clc; clear all; cntFrame = 23; obj = VideoReader('768x576.avi'); numFrames = obj.NumberOfFrames;for k = 1 : cntFrameframe = read(obj,k);imwrite(frame,...strcat('C:\Users\Zi-Heng Shen\Documents\MATLAB\BackGroundModel\混合高斯背景建模\',...num2str(k),'.bmp'),'bmp');end %% 參數定義及初始化 I = imread('1.bmp'); %讀入第一幀作為背景幀 fr_bw = I; [height,width] = size(fr_bw); %求每幀圖像大小 width = width/3; %排除顏色通道數 fg = zeros(height, width); %定義前景和背景矩陣 bg_bw = zeros(height, width);C = 3; % 單高斯模型的個數(通常為3-5) M = 3; % 代表背景的模型個數 D = 2.5; % 偏差閾值 alpha = 0.01; % 學習率 thresh = 0.25; % 前景閾值 sd_init = 15; % 初始化標準差 w = zeros(height,width,C); % 初始化權重矩陣 mean = zeros(height,width,C); % 像素均值 sd = zeros(height,width,C); % 像素標準差 u_diff = zeros(height,width,C); % 像素與某個高斯模型均值的絕對距離 p = alpha/(1/C); % 初始化p變量，用來更新均值和標準差 rank = zeros(1,C); % 各個高斯分布的優先級（w/sd)pixel_depth = 8; % 每個像素8bit分辨率 pixel_range = 2^pixel_depth -1; % 像素值范圍[0,255]for i=1:heightfor j=1:widthfor k=1:Cmean(i,j,k) = rand*pixel_range; %初始化第k個高斯分布的均值w(i,j,k) = 1/C; % 初始化第k個高斯分布的權重sd(i,j,k) = sd_init; % 初始化第k個高斯分布的標準差 endend endfor n = 1:cntFrameframe=strcat(num2str(n),'.bmp');I1 = imread(frame); % 依次讀入各幀圖像fr_bw = I1; % 計算新像素與第m個高斯模型均值的絕對距離for m=1:Cu_diff(:,:,m) = abs(double(fr_bw(:,:,m)) - double(mean(:,:,m)));end% 更新高斯模型的參數for i=1:heightfor j=1:widthmatch = 0; %匹配標記;for k=1:C if (abs(u_diff(i,j,k)) <= D*sd(i,j,k)) % 像素與第k個高斯模型匹配 match = 1; %將匹配標記置為1% 更新權重、均值、標準差、pw(i,j,k) = (1-alpha)*w(i,j,k) + alpha;p = alpha/w(i,j,k); mean(i,j,k) = (1-p)*mean(i,j,k) + p*double(fr_bw(i,j));sd(i,j,k) = sqrt((1-p)*(sd(i,j,k)^2) + p*((double(fr_bw(i,j)) - mean(i,j,k)))^2);else % 像素與第k個高斯模型不匹配w(i,j,k) = (1-alpha)*w(i,j,k); %略微減少權重 endend bg_bw(i,j)=0;for k=1:Cbg_bw(i,j) = bg_bw(i,j)+ mean(i,j,k)*w(i,j,k);end% 像素值與任一高斯模型都不匹配，則創建新的模型if (match == 0)[min_w, min_w_index] = min(w(i,j,:)); %尋找最小權重mean(i,j,min_w_index) = double(fr_bw(i,j));%初始化均值為當前觀測像素的均值sd(i,j,min_w_index) = sd_init; %初始化標準差為6endrank = w(i,j,:)./sd(i,j,:); % 計算模型優先級rank_ind = [1:1:C];%優先級索引 % 計算前景 fg(i,j) = 0;while ((match == 0)&&(k<=M)) if (abs(u_diff(i,j,rank_ind(k))) <= D*sd(i,j,rank_ind(k)))% 像素與第k個高斯模型匹配fg(i,j) = 0; %該像素為背景，置為黑色 elsefg(i,j) = 255; %否則為前景，置為白色 end k = k+1;endendendfigure(n)subplot(1,3,1),imshow(fr_bw); %顯示最后一幀圖像subplot(1,3,2),imshow(uint8(bg_bw)) %顯示背景disk = strel('disk',1);disk1 = strel('disk',4);subplot(1,3,3),imshow(imdilate(imerode(uint8(fg),disk),disk1)); %顯示前景 end輸出結果：
??
代碼及結果引用請標注：Ziheng H. Shen @Graduate School of Tsinghua Univ.

總結

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