文章目錄

• 一、 卡氏積
• 二、 卡氏積示例
• 三、 卡氏積性質
• 四、 n 維卡氏積
• 五、 n 維卡氏積個數
• 六、 n 維卡氏積性質

前置博客 : 【集合論】有序對 ( 有序對 | 有序三元組 | 有序 n 元祖 )

一、 卡氏積

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卡氏積 : $A,B$ 是兩個集合 , 由 $A$ 集合中的元素作為第一個元素 , 由 $B$ 集合中的元素作為第二個元素 , 符合上述條件的有序對組成的集合 , 稱為集合 $A$ 與 $B$ 的卡氏積 ;

記作 : $A\times B$

符號化表示 : $A\times B=\{<x,y>|x\in A\wedge y\in B\}$

集合 $A$ 與 集合 $B$ 的 卡氏積 是一個 新的集合 , 這個新集合是一個 有序對集合 ;

二、 卡氏積示例

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集合 $A=\{?,a\}$ , 集合 $B=\{1,2,3\}$

$A\times B=\{<?,1>,<?,2>,<?,3>,<a,1>,<a,2>,<a,3>\}$

每個有序對 第一個元素來自 $A$ 集合 , 第二個元素來自 $B$ 集合 ;

$B\times A=\{<1,?>,<2,?>,<3,?>,<1,a>,<2,a>,<3,a>\}$

每個有序對第一個元素來自 $B$ 集合 , 第二個元素來自 $A$ 集合 ;

$A\times A=\{<?,?>,<?,a>,<a,?>,<a,a>\}$

每個有序對第一個元素來自 $A$ 集合 , 第二個元素來自 $A$ 集合 ;

$B\times B=\{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>\}$

每個有序對第一個元素來自 $B$ 集合 , 第二個元素來自 $B$ 集合 ;

三、 卡氏積性質

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1. 非交換性

$A\times B=B\times A$

有三種特殊情況 , 交換性成立

① $A=B$

② $A=?$

③ $B=?$

2. 非結合性

$(A\times B)\times C=A\times (B\times C)$

有三種特殊情況 , 結合性成立

① $A=?$

② $B=?$

③ $C=?$

3. 分配率

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$

4. 有序對為空的情況

$A\times B=??A=?\vee B=?$

四、 n 維卡氏積

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n 維卡氏積 :

$A_1\times A_2\times ?\times A_n=\{<x_1,x_2,?,x_n>|x_1\in A_1\wedge x_2\in A_2\wedge ?\wedge x_n\in A_n\}$

$n$ 個集合的卡氏積 , $n$ 維卡氏積結果 , 每個有序對有 $n$ 個元素 , 每個元素都分別 按照指定順序 來自這 $n$ 個集合 ;

$A^n=\begin{array}{c}A\times A\times ?\times A\\ n個\end{array}$

這是 $n$ 個 集合 $A$ 的 $n$ 維卡氏積 ;

五、 n 維卡氏積個數

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$n$ 維卡氏積個數 :

$|A_i|=n_i,i=1,2,?,n$

$?$

$|A_1\times A_2\times ?\times A_n|=n_1\times n_2\times ?\times n_n$

$|A_i|=n_i$ , $i=1,2,?,n$ : 表示 第 $i$ 個集合 $A_i$ 的元素個數是 $n_i$ ;

$|A_1\times A_2\times ?\times A_n|$ : 表示 $n$ 個集合的卡氏積結果集合個數 ;

$n_1\times n_2\times ?\times n_n$ : $n$ 個集合的卡氏積結果 ;

六、 n 維卡氏積性質

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n 維卡氏積性質 : 與 $2$ 維卡氏積性質類似

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【集合论】卡氏积 ( 卡氏积概念 | 卡氏积示例 | 卡氏积性质 | 非交换性 | 非结合性 | 分配律 | 有序对为空 | n 维卡氏积 | n 维卡氏积个数 | n维卡氏积性质 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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