UA MATH524 復(fù)變函數(shù)13 奇點(diǎn)與留數(shù)

• • 零點(diǎn)的階
  • 孤立奇點(diǎn)
  • 留數(shù)

零點(diǎn)的階

假設(shè)$f$滿足
$$\begin{gathered} f^{(k)}(z_0)=0,k=0,1,?,m?1 \\ {f}^{(m)}(z_0)=0 \end{gathered}$$

稱$z_0$是$f$的$m$階零點(diǎn)。

如果$z_0\in D$，$f$在$D$上為全純函數(shù)，則在$D$上$f$存在冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，
$$f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{a}_k(z?z_0{)}^k$$

根據(jù)$m$階零點(diǎn)的定義可得
$$\begin{gathered} a_k=0,k=0,1,?,m?1 \\ {a}_m=0 \end{gathered}$$

定義
$$g(z)=\frac{f(z)}{(z?z_0{)}^m}$$

則$g(z)=a_m+a_{m+1}(z?z_0)+?$，顯然$g(z)$在$D$上也是全純函數(shù)，并且$g(z_0)=0$。

孤立奇點(diǎn)

先引入幾個(gè)集合的定義，
$$\begin{gathered} \text{open?disk}:B(z_0,r)=\{z:|z?z_0|<r\} \\ \text{closed?disk}:\bar{B}(z_0,r)=\{z:|z?z_0|\le r\} \\ \text{punctured?disk}:\stackrel{°}{B}(z_0,r)=\{z:0<|z?z_0|<r\} \\ \text{annulus}:B(z_0,R)?\bar{B}(z_0,r)=\{z:r<|z?z_0|<R\} \end{gathered}$$

假設(shè)$f$為$D$上的全純函數(shù)，稱$z_0\in D$是$f$的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，如果$?r>0$，$f$在$\stackrel{°}{B}(z_0,r)$上解析。

評(píng)注 孤立奇點(diǎn)（isolated singularity）的定義要與本性奇點(diǎn)（essential singularity）區(qū)分一下。稱$z_0$為$f$的本性奇點(diǎn)，如果$f$在$z_0$處的極限不存在。這里用三個(gè)例子幫助大家理解孤立奇點(diǎn)與本性奇點(diǎn)的區(qū)別。

函數(shù)$z_0$為本性奇點(diǎn)$z_0$為孤立奇點(diǎn)

$\frac{z^2?z_0^2}{z?z_0}$	否	是
$7(z?z_0{)}^{?4}$	是	是
$\exp ((z?z_0{)}^{?1})$	是	是

從孤立奇點(diǎn)的定義以及這三個(gè)例子，我們可以簡(jiǎn)單總結(jié)處函數(shù)在趨近于其孤立奇點(diǎn)時(shí)的行為：

${\lim }_{z\to z_0}|f(z)|<\infty$

${\lim }_{z\to z_0}|f(z)|=\infty$

${\lim }_{z\to z_0}|f(z)|$不存在

第一種奇點(diǎn)被稱為可移除的奇點(diǎn)(removable singularity)，因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">${\lim }_{z\to z_0}|f(z)|<\infty$，所以令$g(z)=(z?z_0{)}^{2}f(z),?z\in \stackrel{°}{B}(z_0,r)$，$g(z_0)=0$，則
$$\frac{g(z)?g(z_0)}{z?z_0}=(z?z_0)f(z)\to 0?f(z_0)=0,\text{as}z\to z_0$$

考慮$g(z)$的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：
$$g(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{b}_n(z?z_0{)}^n$$

根據(jù)$g(z)$的構(gòu)造，$z_0$是$g(z)$的零點(diǎn)，且至少是2階零點(diǎn)，因此$b_0=b_1=0$，于是$f(z)$的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)為
$$f(z)=b_2+b_3(z?z_0)+b_4(z?z_0{)}^2+?$$

并且$f(z_0)=b_2<\infty$。經(jīng)過(guò)上述操作，可以發(fā)現(xiàn)這種奇點(diǎn)對(duì)函數(shù)的局部性質(zhì)確實(shí)沒(méi)有什么影響，因此被稱為可移除的奇點(diǎn)。

第二種奇點(diǎn)被稱為pole，假設(shè)$f$在$z_0$處滿足${\lim }_{z\to z_0}|f(z)|=\infty$，并且$|f(z)|>1,?z\in \stackrel{°}{B}(z_0,r)$，則$g(z)=\frac{1}{f(z)}$在$\stackrel{°}{B}(z_0,r)$上解析，且$g(z)$有界，$|g(z)|\le 1$，于是$z_0$對(duì)于$g(z)$而言就是一個(gè)可移除的奇點(diǎn)，假設(shè)$z_0$作為零點(diǎn)的階為$m$，則
$$g(z)=(z?z_0{)}^{m}h(z)$$

$h$在$B(z_0,r)$上解析，且$h(z_0)=0$，令$H(z)=\frac{1}{h(z)}$，則$H(z)$在$B(z_0,r)$上解析，綜上，
$$f(z)=\frac{1}{g(z)}=\frac{H(z)}{(z?z_0{)}^m}$$

也就是說(shuō)有第二種奇點(diǎn)的函數(shù)在局部都可以寫成全純函數(shù)$H(z)$與$\frac{1}{(z?z_0{)}^m}$乘積的形式，稱$z_0$為$f$的$m$階pole。

上述第三類孤立奇點(diǎn)就是本性奇點(diǎn)。這里簡(jiǎn)單介紹一個(gè)本性奇點(diǎn)的性質(zhì)：假設(shè)$f$在$\stackrel{°}{B}(z_0,r)$上為全純函數(shù)，并且$z_0$為$f$的本性奇點(diǎn)，$w$是一個(gè)任意復(fù)數(shù)，則
$$g(z)=\frac{1}{f(z)?w}$$

在$?0<?<r,\stackrel{°}{B}(z_0,?)$上無(wú)界。

留數(shù)

假設(shè)$f$在$\stackrel{°}{B}(z_0,r)$上解析，則
$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_0|=s}f(w)dw,0<s<r$$

這個(gè)積分與$s$無(wú)關(guān)。這個(gè)結(jié)論非常容易驗(yàn)證，以下圖示意，考慮$0<s_1<s_2<r$，則沿著$|w?z_0|=s_1$與$|w?z_0|=s_2$的積分之差等于下圖中加了箭頭的幾段線段的積分之和，根據(jù)對(duì)稱性，這幾段積分之和為0，因此上述積分與$s$無(wú)關(guān)。

除了$s$外，上述積分只與$z_0$有關(guān)，因此我們將其定義為$f$在$z_0$處的留數(shù)（residue），
$$Res(f;z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_0|=s}f(w)dw$$

這個(gè)公式的形式與Cauchy公式很像，但Cauchy公式要求$f$在$|w?z_0|=s$圍成區(qū)域內(nèi)（包含$z_0$）解析，而留數(shù)并不要求$f$在$z_0$處解析，所以留數(shù)的含義更具有一般性。

當(dāng)$f$在$z_0$處解析或者$f$在$z_0$處滿足${\lim }_{z\to z_0}|f(z)|<\infty$時(shí)，根據(jù)Cauchy公式，
$$Res(f;z_0)=f(z_0)$$

當(dāng)$z_0$是$f$的$m$階pole時(shí)，則存在$B(z_0,r)$上的全純函數(shù)$H(z)$，冪級(jí)數(shù)為${\sum }_{n=0}^{+\infty }{c}_n(z?z_0{)}^n$，滿足
$$f(z)=\frac{H(z)}{(z?z_0{)}^m}=\sum _{n=?m}^{+\infty }{c}_{n+m}(z?z_0{)}^n$$

用Cauchy公式計(jì)算
$$\begin{gathered} \frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_0|=s}(w?z_0{)}^{n}dw=0,n=?1 \\ \frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_0|=s}\frac{1}{w?z_0}dw=1 \end{gathered}$$

所以
$$Res(f;z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_0|=s}\sum _{n=?m}^{+\infty }{c}_{n+m}(z?z_0{)}^{n}dw=c_{m?1}=\frac{H^{(m?1)}(z_0)}{(m?1)!}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH524 复变函数13 奇点与留数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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