UA MATH524 复变函数9 柯西公式与幂级数展开
UA MATH524 復變函數9 柯西公式與冪級數展開
- 柯西公式及其證明
- 冪級數展開
柯西公式及其證明
假設fff是DDD上的全純函數,γ\gammaγ是DDD中的分段平滑正向封閉曲線,且γ\gammaγ圍成區域的內部Ω\OmegaΩ是DDD的子集,則
f(z)=12πi∫γf(w)w?zdw,?z∈Ωf(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z}dw,\forall z \in \Omegaf(z)=2πi1?∫γ?w?zf(w)?dw,?z∈Ω
證明 因為z∈Ωz \in \Omegaz∈Ω,?δ0>0\exists \delta_0>0?δ0?>0,B(z,δ0)?ΩB(z,\delta_0) \subset \OmegaB(z,δ0?)?Ω,取δ<δ0\delta<\delta_0δ<δ0?,記Bˉ(z,δ)={w:∣w?z∣≤δ}\bar B(z,\delta)=\{w:|w-z| \le \delta\}Bˉ(z,δ)={w:∣w?z∣≤δ}表示closed neighbor of zzz,Ωδ=Ω?Bˉ(z,δ)\Omega_{\delta}=\Omega \setminus \bar B(z,\delta)Ωδ?=Ω?Bˉ(z,δ)(用closed neighbor是保證Ωδ\Omega_{\delta}Ωδ?為開集,去掉zzz的一個閉鄰域是因為f(w)w?z\frac{f(w)}{w-z}w?zf(w)?的奇點為zzz),在Ωδ\Omega_{\delta}Ωδ?上對g(w)=f(w)w?zg(w)=\frac{f(w)}{w-z}g(w)=w?zf(w)?應用Green定理與Cauchy定理,
0=i?Ωδ(?g?x+i?g?y)dxdy=∫?Ωδg(z)dz0=i\iint_{\Omega_{\delta}} \left( \frac{\partial g}{\partial x}+i \frac{\partial g}{\partial y} \right) dxdy=\int_{\partial \Omega_{\delta}} g(z)dz0=i?Ωδ??(?x?g?+i?y?g?)dxdy=∫?Ωδ??g(z)dz
因為?Ωδ=?Ω?{w:∣w?z∣=δ}\partial \Omega_{\delta}=\partial \Omega \sqcup \{w:|w-z|=\delta\}?Ωδ?=?Ω?{w:∣w?z∣=δ}(后者的定向為負),根據積分的可加性,
∫?Ωδg(z)dz=∫?Ωg(z)dz?∫{w:∣w?z∣=δ}g(z)dz=0\int_{\partial \Omega_{\delta}} g(z)dz=\int_{\partial \Omega} g(z)dz-\int_{\{w:|w-z|=\delta\}} g(z)dz=0∫?Ωδ??g(z)dz=∫?Ω?g(z)dz?∫{w:∣w?z∣=δ}?g(z)dz=0
其中?Ω=γ\partial \Omega=\gamma?Ω=γ,所以當δ→0\delta \to 0δ→0時,
∫γg(z)dz=∫{w:∣w?z∣=δ}g(z)dz→2πif(z)\int_{\gamma} g(z)dz = \int_{\{w:|w-z|=\delta\}} g(z)dz \to 2 \pi i f(z)∫γ?g(z)dz=∫{w:∣w?z∣=δ}?g(z)dz→2πif(z)
這樣就完成了證明。但需要注意最后一個等式,它可以用下面的引理直接得出:
引理 假設fff在B(z0,r)B(z_0,r)B(z0?,r)上連續,γ?={z:∣z?z0∣=?}\gamma_{\epsilon}=\{z:|z-z_0|=\epsilon\}γ??={z:∣z?z0?∣=?},則
lim??→012πi∫γ?f(z)z?z0dz=f(z0)\lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=f(z_0)?→0lim?2πi1?∫γ???z?z0?f(z)?dz=f(z0?)
簡單證明一下這個引理。先將γ?\gamma_{\epsilon}γ??參數化:γ?(t)=z0+?eit,t∈[0,2π]\gamma_{\epsilon}(t)=z_0+\epsilon e^{it},t \in [0,2 \pi]γ??(t)=z0?+?eit,t∈[0,2π],代入到積分中,
12πi∫γ?f(z)z?z0dz=12πi∫02πf(z0+?eit)?eitd(z0+?eit)=12π∫02πf(z0+?eit)dt\begin{aligned}\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{f(z)}{z-z_0}dz & = \frac{1}{2 \pi i} \int_{0}^{2\pi} \frac{f(z_0+\epsilon e^{it})}{\epsilon e^{it}}d(z_0+\epsilon e^{it}) \\ & = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2\pi} f(z_0+\epsilon e^{it}) dt \end{aligned}2πi1?∫γ???z?z0?f(z)?dz?=2πi1?∫02π??eitf(z0?+?eit)?d(z0?+?eit)=2π1?∫02π?f(z0?+?eit)dt?
因為fff的連續性,
∣12π∫02πf(z0+?eit)dt?f(z0)∣=∣12π∫02πf(z0+?eit)?f(z0)dt∣≤max?t∈[0,2π]∣f(z0+?eit)?f(z0)∣<?\begin{aligned} \left| \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2\pi} f(z_0+\epsilon e^{it}) dt - f(z_0) \right| & = \left| \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2\pi} f(z_0+\epsilon e^{it}) -f(z_0) dt \right| \\ & \le \max_{t \in [0,2 \pi]} |f(z_0+\epsilon e^{it}) -f(z_0)|<\epsilon\end{aligned}∣∣∣∣?2π1?∫02π?f(z0?+?eit)dt?f(z0?)∣∣∣∣??=∣∣∣∣?2π1?∫02π?f(z0?+?eit)?f(z0?)dt∣∣∣∣?≤t∈[0,2π]max?∣f(z0?+?eit)?f(z0?)∣<??
這樣就說明了引理為真。
冪級數展開
下面介紹一個Cauchy公式的應用。假設fff是DDD上的全純函數,z0∈Dz_0 \in Dz0?∈D,且B(z0,R)?DB(z_0,R) \subset DB(z0?,R)?D,則fff在B(z0,R)B(z_0,R)B(z0?,R)中存在冪級數展開,
f(z)=∑k=0+∞ak(z?z0)kf(z)= \sum_{k=0}^{+\infty}a_k(z-z_0)^kf(z)=k=0∑+∞?ak?(z?z0?)k
并且
ak=12πi∫γf(w)(w?z0)k+1dwa_k=\frac{1}{2 \pi i}\int_{\gamma} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{k+1}}dwak?=2πi1?∫γ?(w?z0?)k+1f(w)?dw
其中γ={w:∣w?z0∣=r}\gamma=\{w:|w-z_0|=r\}γ={w:∣w?z0?∣=r}方向為正,r<Rr<Rr<R。這里給了冪級數展開的一個一般性公式,事實上,如果fff是平滑函數,那么aka_kak?可以用Taylor級數的系數表達式ak=f(k)(z0)k!a_k=\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}ak?=k!f(k)(z0?)?
且這個結果與ak=12πi∫γf(w)(w?z0)k+1dwa_k=\frac{1}{2 \pi i}\int_{\gamma} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{k+1}}dwak?=2πi1?∫γ?(w?z0?)k+1f(w)?dw相同;但如果fff不是平滑函數,就只能用ak=12πi∫γf(w)(w?z0)k+1dwa_k=\frac{1}{2 \pi i}\int_{\gamma} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{k+1}}dwak?=2πi1?∫γ?(w?z0?)k+1f(w)?dw這個公式計算冪級數展開的系數了。
下面給出復變函數冪級數的不嚴謹推導(只是提供一個大致的思路,完整證明可以參考Stephen Fisher的復變函數第二版的123-125頁):取r<Rr<Rr<R,在B(z0,r)B(z_0,r)B(z0?,r)上,根據Cauchy公式,
f(z)=12πi∫γf(w)w?zdwf(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z}dwf(z)=2πi1?∫γ?w?zf(w)?dw
其中γ\gammaγ為正向的圓{w:∣w?z0∣=r}\{w:|w-z_0|=r\}{w:∣w?z0?∣=r},因為www在圓上,zzz在圓內,所以∣z?z0∣<r|z-z_0|<r∣z?z0?∣<r,并且∣z?z0∣∣w?z0∣<1\frac{|z-z_0|}{|w-z_0|}<1∣w?z0?∣∣z?z0?∣?<1,由此用冪級數展開
1w?z=1(w?z0)?(z?z0)=1w?z011?z?z0w?w0=1w?z0∑n=0+∞(z?z0w?z0)n\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-z_0)-(z-z_0)}=\frac{1}{w-z_0} \frac{1}{1-\frac{z-z_0}{w-w_0}}=\frac{1}{w-z_0} \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{z-z_0}{w-z_0} \right)^nw?z1?=(w?z0?)?(z?z0?)1?=w?z0?1?1?w?w0?z?z0??1?=w?z0?1?n=0∑+∞?(w?z0?z?z0??)n
代入到Cauchy公式中,
f(z)=12πi∫γf(w)w?z0∑n=0+∞(z?z0w?z0)ndw=∑n=0+∞(z?z0)n(12πi∫γf(w)(w?z0)n+1dw)?an\begin{aligned}f(z)&=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z_0}\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{z-z_0}{w-z_0} \right)^ndw \\ & = \sum_{n=0}^{+\infty} (z-z_0)^n \underbrace{\left( \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} dw\right)}_{a_n} \end{aligned}f(z)?=2πi1?∫γ?w?z0?f(w)?n=0∑+∞?(w?z0?z?z0??)ndw=n=0∑+∞?(z?z0?)nan?(2πi1?∫γ?(w?z0?)n+1f(w)?dw)???
總結
以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH524 复变函数9 柯西公式与幂级数展开的全部內容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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