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UA MATH524 复变函数6 Green定理与Green公式

發布時間：2025/4/14 编程问答 13 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA MATH524 复变函数6 Green定理与Green公式小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

UA MATH524 復變函數6 Green定理與Green公式

- Green定理
- Green公式與Green恒等式
- - 方向導數
  - Green恒等式
  - Green公式

Green定理

假設復變函數 $f$ 的定義域為 $Ω\Omega$ ，定義域的邊界為 $Γ\Gamma$ ，其中 $Γ\Gamma$ 可以寫成不相交的封閉曲線的并集（如上圖a）， $Γ=?j=1nγj\Gamma=\bigsqcup_{j=1}^n \gamma_j$ ，且 $Γ\Gamma$ 的方向為正（如果沿著 $Γ\Gamma$ 的定向走的時候，定義域永遠在我們的左手邊（如上圖b），就稱 $Γ\Gamma$ 的方向為正），則
$∫Γf(z)dz=i?Ω(?f?x+i?f?y)dxdy\int_{\Gamma} f(z)dz =i \iint_{\Omega} \left( \frac{\partial f}{\partial x}+i \frac{\partial f}{\partial y} \right)dxdy$

這個公式可以理解為復變函數版本的Green公式，它也確實可以由實變函數積分的Green公式推導出來。

證明
假設 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ ， $z = x + i y$ ，則
$∫Γf(z)dz=∫Γ(udx?vdy)+i∫Γ(udy+vdx)\begin{aligned} \int_{\Gamma} f(z)dz = \int_{\Gamma } (udx - v dy) + i \int_{\Gamma} (udy+vdx)\end{aligned}$

根據實變函數積分的Green公式，
$∫Γ(udx?vdy)=??Ω(?v?x+?u?y)dxdy∫Γ(udy+vdx)=?Ω(?u?x+?v?y)dxdy\int_{\Gamma } (udx - v dy) =-\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) dxdy \\ \int_{\Gamma} (udy+vdx) = \iint_{\Omega}\left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) dxdy$

所以
$∫Γf(z)dz=??Ω(?v?x+?u?y)dxdy+i?Ω(?u?x??v?y)dxdy\int_{\Gamma} f(z)dz = -\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) dxdy +i\iint_{\Omega}\left( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \right) dxdy$

所以，
$i?Ω(?f?x+i?f?y)dxdy=i?Ω(?u?x+i?v?x+i?u?y??v?y)dxdy=??Ω(?v?x+?u?y)dxdy+i?Ω(?u?x??v?y)dxdy=∫Γf(z)dz\begin{aligned} & i \iint_{\Omega} \left( \frac{\partial f}{\partial x}+i \frac{\partial f}{\partial y} \right)dxdy \\ = &i \iint_{\Omega} \left( \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}+i \frac{\partial u}{\partial y} -\frac{\partial v}{\partial y}\right)dxdy \\ = &-\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) dxdy +i\iint_{\Omega}\left( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \right) dxdy \\ = & \int_{\Gamma} f(z)dz\end{aligned}$

Green公式與Green恒等式

方向導數

假設 $Γ(t)={(x(t),y(t)):t∈[t0,tN]}\Gamma(t)=\{(x(t),y(t)):t \in [t_0,t_N]\}$ 是分段可微的參數曲線， $λ=cos?θ+isin?θ\lambda=\cos \theta+i \sin \theta$ ，它表示復平面上的單位向量，定義復變函數 $f$ 在 $z_0$ 處沿著 $λ\lambda$ 的方向導數為
$?f?λ=lim?h→0f(z0+hλ)?f(z0)h\frac{\partial f}{\partial \lambda}=\lim_{h \to 0} \frac{f(z_0+h\lambda)-f(z_0)}{h}$

假設這個極限存在，可以驗證它等于
$?f?xcos?θ+?f?ysin?θ\frac{\partial f}{\partial x}\cos \theta+\frac{\partial f}{\partial y}\sin \theta$

用 $n$ 表示 $Γ\Gamma$ 的單位外法向量，即垂直于 $Γ\Gamma$ 指向 $ΩC\Omega^C$ 的方向，因為 $Γ\Gamma$ 的單位方向向量為
$xx˙2+y˙2+iyx˙2+y˙2\frac{x}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}} +i \frac{y}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}$

由此可以得到
$n=yx˙2+y˙2?ixx˙2+y˙2n=\frac{y}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}} -i \frac{x}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}$

于是復變函數 $f$ 沿 $Γ\Gamma$ 外法向的導數為
$?f?n=y˙?f?x?x˙?f?yx˙2+y˙2\frac{\partial f}{\partial n}=\frac{\dot y\frac{\partial f}{\partial x}-\dot x \frac{\partial f}{\partial y}}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}$

在第四講中，我們類比二元實變函數的曲線積分定義了復變函數的積分，更具體一點，我們用的是實變函數的第二類曲線積分的思路，實際上我們也可以類比第一類曲線積分的思想，定義復變函數的弧長積分為
$∫Γfds\int_{\Gamma} f ds$

其中 $\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}dt$ 。

Green恒等式

$?Ω(?u?x?v?x+?u?y?v?y)dxdy=∫Γv?u?nds??ΩvΔudxdy\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}\right) dxdy = \int_{\Gamma} v \frac{\partial u}{\partial n}ds -\iint_{\Omega}v \Delta udxdy$

證明
回顧一下散度定理，
$?Ω(??f)dxdy=∫Γ(f?n)ds\iint_{\Omega}( \nabla \cdot f )dxdy=\int_{\Gamma} (f \cdot n)ds$

現在令 $f=v?uf=v\nabla u$ ，
$??f=??(v?u)=?u??v+vΔuf?n=v?u?n=v?u?n\nabla \cdot f = \nabla \cdot (v\nabla u)=\nabla u \cdot \nabla v + v\Delta u \\ f \cdot n = v\nabla u \cdot n = v \frac{\partial u}{\partial n}$

代入散度定理中即可：
$?Ω(?u??v+vΔu)dxdy=∫Γv?u?nds\iint_{\Omega}(\nabla u \cdot \nabla v + v\Delta u)dxdy = \int_{\Gamma} v \frac{\partial u}{\partial n}ds$

Green公式

$∫Γ(g?f?n?f?g?n)ds=?Ω(gΔf?fΔg)dxdy\int_{\Gamma} \left( g \frac{\partial f}{\partial n} - f \frac{\partial g}{\partial n} \right)ds=\iint_{\Omega}(g \Delta f-f \Delta g)dxdy$

證明1：用實變函數積分的Green公式
令
$u=??f?yg+?g?yf,v=?f?xg??g?xfu=-\frac{\partial f}{\partial y}g+\frac{\partial g}{\partial y}f,v=\frac{\partial f}{\partial x}g-\frac{\partial g}{\partial x}f$

代入到實變函數的Green公式即可。

證明2：用Green恒等式

在Green恒等式中， $u, v$ 是輪換對稱的，
$?Ω(?u?x?v?x+?u?y?v?y)dxdy=∫Γv?u?nds??ΩvΔudxdy?Ω(?v?x?u?x+?v?y?u?y)dxdy=∫Γu?v?nds??ΩuΔvdxdy\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}\right) dxdy = \int_{\Gamma} v \frac{\partial u}{\partial n}ds -\iint_{\Omega}v \Delta udxdy \\ \iint_{\Omega} \left( \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial y}\right) dxdy = \int_{\Gamma} u \frac{\partial v}{\partial n}ds -\iint_{\Omega}u \Delta vdxdy$

第一個公式減第二個、令 $v = g, u = f$ 即可。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH524 复变函数6 Green定理与Green公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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