UA OPTI512R 傅立叶光学导论9 卷积基础
UA OPTI512R 傅立葉光學導論9 卷積基礎
- 卷積的圖示
- 卷積的解析計算
之前介紹LSI時,我們提到過如果輸入為δ(x)\delta(x)δ(x)時,輸出為脈沖響應函數h(x)=L[δ(x)]h(x)=\mathcal{L}[\delta(x)]h(x)=L[δ(x)]則輸出為f(x)f(x)f(x)時,輸出為輸入與脈沖響應函數的卷積
g(x)=∫?∞+∞f(y)h(x?y)dy=(f?h)(x)g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(y)h(x-y)dy=(f*h)(x)g(x)=∫?∞+∞?f(y)h(x?y)dy=(f?h)(x)
做一個簡單的自變量變換z=x?yz=x-yz=x?y,則
∫?∞+∞f(y)h(x?y)dy=∫?∞+∞h(z)f(x?z)dz=(h?f)(x)\int_{-\infty}^{+\infty} f(y)h(x-y)dy=\int_{-\infty}^{+\infty}h(z)f(x-z)dz = (h*f )(x)∫?∞+∞?f(y)h(x?y)dy=∫?∞+∞?h(z)f(x?z)dz=(h?f)(x)
所以f?hf*hf?h與h?fh*fh?f這兩種記法完全一樣。這一講介紹一些卷積的基礎知識。
卷積的圖示
假設
f(x)=rect(x?12)h(x)=ramp(x)rect(x?1.53)f(x) = rect \left( \frac{x-1}{2} \right) \\ h(x) = ramp(x)rect \left( \frac{x-1.5}{3} \right)f(x)=rect(2x?1?)h(x)=ramp(x)rect(3x?1.5?)
我們嘗試圖示
(f?h)(x)=∫?∞+∞f(y)h(x?y)dy(f*h)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(y)h(x-y)dy(f?h)(x)=∫?∞+∞?f(y)h(x?y)dy
計算重疊區域面積的過程圖示如下
卷積的解析計算
現在嘗試直接計算
(f?h)(x)=∫?∞+∞f(y)h(x?y)dy=∫?∞+∞rect(y?12)ramp(x?y)rect((x?y)?1.53)dy={0,x<0∫0x(x?y)dy=x22,0≤x<2∫02(x?y)dy=2(x?1),2≤x<3∫x?32(x?y)dy=?x2+4x+52,3≤x<50,x≥5\begin{aligned} (f*h)(x)& =\int_{-\infty}^{+\infty} f(y)h(x-y)dy \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty}rect\left( \frac{y-1}{2} \right)ramp(x-y)rect \left( \frac{(x-y)-1.5}{3} \right)dy \\ & = \begin{cases} 0 ,x < 0 \\ \int_0^x (x-y)dy = \frac{x^2}{2}, 0 \le x < 2 \\ \int_0^2 (x-y)dy = 2(x-1),2 \le x < 3 \\ \int_{x-3}^2 (x-y)dy = \frac{-x^2+4x+5}{2},3 \le x < 5 \\ 0, x \ge 5 \end{cases}\end{aligned}(f?h)(x)?=∫?∞+∞?f(y)h(x?y)dy=∫?∞+∞?rect(2y?1?)ramp(x?y)rect(3(x?y)?1.5?)dy=????????????????0,x<0∫0x?(x?y)dy=2x2?,0≤x<2∫02?(x?y)dy=2(x?1),2≤x<3∫x?32?(x?y)dy=2?x2+4x+5?,3≤x<50,x≥5??
怎么說呢,要解析地算出卷積的表達式其實就是算積分或者求和/求級數,如果impulse response和input的形式都很簡單,解析計算還可以,但函數形式比較復雜的話解析計算就行不通了,后續在介紹完卷積的性質后會介紹計算卷積的數值方法。
例1 計算下面兩個函數的卷積
f(x)=rect(x?12),h(x)=2rect(x?0.5)f(x)=rect\left( \frac{x-1}{2} \right),h(x)=2rect(x-0.5)f(x)=rect(2x?1?),h(x)=2rect(x?0.5)
(f?h)(x)=∫?∞+∞f(y)h(x?y)dy=2∫?∞+∞rect(y?12)rect((x?y)?0.5)dy=2∫?∞+∞χ(0,2)(y)χ(x?1,x)(y)dy=2∫?∞+∞χ(0,2)∩(x?1,x)(y)dy={0,x<02∫0xdy=2x,0≤x<12∫x?1xdy=2,1≤x<22∫x?12dy=6?2x,2≤x<30,x≥3\begin{aligned} (f*h)(x) & = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) h(x-y)dy \\ & = 2\int_{-\infty}^{+\infty} rect\left( \frac{y-1}{2} \right) rect((x-y)-0.5)dy \\ & = 2\int_{-\infty}^{+\infty} \chi_{(0,2)}(y) \chi_{(x-1,x)}(y)dy \\ & =2\int_{-\infty}^{+\infty} \chi_{(0,2) \cap (x-1,x)}(y)dy \\ & = \begin{cases} 0, x < 0 \\ 2 \int_0^x dy = 2x, 0 \le x < 1 \\ 2\int_{x-1}^x dy = 2, 1 \le x < 2 \\ 2 \int_{x-1}^2 dy = 6-2x, 2 \le x < 3 \\ 0 , x \ge 3 \end{cases}\end{aligned}(f?h)(x)?=∫?∞+∞?f(y)h(x?y)dy=2∫?∞+∞?rect(2y?1?)rect((x?y)?0.5)dy=2∫?∞+∞?χ(0,2)?(y)χ(x?1,x)?(y)dy=2∫?∞+∞?χ(0,2)∩(x?1,x)?(y)dy=????????????????0,x<02∫0x?dy=2x,0≤x<12∫x?1x?dy=2,1≤x<22∫x?12?dy=6?2x,2≤x<30,x≥3??
例2 卷積與Fresnel衍射
考慮二元函數作為LSI的輸入:
g(x1,x2)=L[f(x1,x2)]g(x_1,x_2) = \mathcal{L}[f(x_1,x_2)]g(x1?,x2?)=L[f(x1?,x2?)]
假設δ(x1,x2)\delta(x_1,x_2)δ(x1?,x2?)作為輸入時脈沖響應函數為h(x1,x2)h(x_1,x_2)h(x1?,x2?),則
g(x1,x2)=??∞+∞f(y1,y2)h(x1?y1,x2?y2)dy1dy2=(f?h)(x1,x2)g(x_1,x_2) = \iint_{-\infty}^{+\infty} f(y_1,y_2) h(x_1-y_1,x_2-y_2)dy_1dy_2 =( f*h)(x_1,x_2)g(x1?,x2?)=??∞+∞?f(y1?,y2?)h(x1??y1?,x2??y2?)dy1?dy2?=(f?h)(x1?,x2?)
這類結果可以自然推廣到nnn元函數。考慮x=(x1,x2,?,xn)′\textbf x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)'x=(x1?,x2?,?,xn?)′,
g(x)=L[f(x)]g(\textbf x) = \mathcal{L}[f(\textbf x)]g(x)=L[f(x)]
假設δ(x)\delta(\textbf x)δ(x)作為輸入時脈沖響應函數為h(x)h(\textbf x)h(x),則
g(x)=∫?∞+∞f(y)h(x?y)dy=(f?h)(x)g(\textbf x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\textbf y) h(\textbf x-\textbf y)d\textbf y =( f*h)(\textbf x)g(x)=∫?∞+∞?f(y)h(x?y)dy=(f?h)(x)
考慮波前為ui(x,y)u_i(x,y)ui?(x,y)的光,假設材料透光性用P(x,y)P(x,y)P(x,y)描述,比如如果是圓孔的話可以用cylinder function,經過材料后,波前變為u1(x,y)=ui(x,y)P(x,y)u_1(x,y)=u_i(x,y)P(x,y)u1?(x,y)=ui?(x,y)P(x,y)
根據Rayleigh-Sommerfeld diffraction integral的Kirchoff近似,將波前u1u_1u1?上的每一點(x′,y′,0)(x',y',0)(x′,y′,0)視為新的光源,傳播到(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)時,波前為
u2(x,y)=??∞+∞u1(x′,y′)zjλrejkrrdx′dy′u_2(x,y)=\iint_{-\infty}^{+\infty}u_1(x',y') \frac{z}{j \lambda r} \frac{e^{jkr}}{r}dx'dy'u2?(x,y)=??∞+∞?u1?(x′,y′)jλrz?rejkr?dx′dy′
使用Fresnel衍射的近似方法(Fresnel衍射的含義是我們觀察u2u_2u2?的地方與透光材料之間的距離相比透光材料的孔徑非常大,所以在z/(jλr)z/(j \lambda r)z/(jλr)中,取z≈rz \approx rz≈r,然后用前兩階Taylor展開近似ejkrr\frac{e^{jkr}}{r}rejkr?),
u2(x,y)=ejkzjλz?P(x,y)ui(x′,y′)ejπλz[(x?x′)2+(y?y′)2]dx′dy′=(u1?h)(x,y),h=ejπλz(x2+y2)\begin{aligned}u_2(x,y) & =\frac{e^{jkz}}{j \lambda z} \iint_{P(x,y)}u_i(x',y')e^{j \frac{\pi}{\lambda z}[(x-x')^2+(y-y')^2]}dx'dy' \\ & = (u_1*h)(x,y),h=e^{j \frac{\pi}{\lambda z}(x^2+y^2)}\end{aligned}u2?(x,y)?=jλzejkz??P(x,y)?ui?(x′,y′)ejλzπ?[(x?x′)2+(y?y′)2]dx′dy′=(u1??h)(x,y),h=ejλzπ?(x2+y2)?
也就是說,當我們并不關注這個衍射系統的設計,只想知道輸入的波形與輸出的波形之間的關系時,可以把它看成一個LSI,其中hhh被稱為Fresnel Diffraction Impulse Response。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI512R 傅立叶光学导论9 卷积基础的全部內容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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