UA OPTI501 電磁波8 習題課：麥克斯韋方程邊界條件的推導

• • 邊界條件的含義
  • 用Maxwell方程推導邊界條件

Maxwell Macroscopic Equations:
$$\begin{gathered} ??\text{D}={\rho }_{free} \\ ?\times \text{H}={\text{J}}_{free}+\frac{?}{?t}\text{D} \\ ?\times \text{E}=?\frac{?}{?}\text{B} \\ ??\text{B}=0 \end{gathered}$$

其中
$$\begin{gathered} {\rho }_{total}={\rho }_{free}???\text{P} \\ {\text{J}}_{total}={\text{J}}_{free}+\frac{?}{?t}\text{P}+\frac{1}{{\mu }_0}?\times \text{M} \end{gathered}$$

邊界條件的含義

假設空間中存在兩種介質，這兩種介質將區域分割為兩部分，介質1對應區域就用下標1區分，介質2對應區域就用下標2區分，如(a)圖所示，假設立方體中的曲面就是兩種介質交界面，在界面上取${\text{r}}_0$這一點，過這一點畫一根非常短的線，其中一端進入介質1區域，到達${\text{r}}_1$，另一端進入介質2區域，到達${\text{r}}_2$，假設${\text{r}}_2?{\text{r}}_1$是一個非常小的矢量。邊界條件的含義就是尋找${\text{E}}_{||},{\text{H}}_{||},{\text{D}}_{\perp },{\text{B}}_{\perp }$在${\text{r}}_1$點與在${\text{r}}_2$點的關系，其中下標$||$表示矢量的平行分量（平行于交界面），$\perp$表示矢量的垂直分量（垂直于交界面）。根據邊界條件可以判斷出電磁場經過介質交界面時是否是連續變化的。

另外(b)圖是用Maxwell方程推導邊界條件的重要輔助圖，對于場的散度，可以用一個非常小的柱體面作為高斯面，用高斯定理進行推導；對于場的散度，可以用一個非常小矩形作為安培環路，用Stokes公式進行推導。

用Maxwell方程推導邊界條件

電位移的邊界條件
使用Maxwell方程1：
$$??\text{D}={\rho }_{free}$$

這是關于場的散度的，所以我們用能包圍${\text{r}}_0$的非常小的柱體面作為高斯面，并且這個柱體面上下底與${\text{r}}_2?{\text{r}}_1$平行，${\text{r}}_1$位于下底面，${\text{r}}_2$位于上底面，對這個柱體使用Gauss定理，并假設柱體的高小到可以忽略不計，則電位移的平行分量不會貢獻通量，所以有
$${\int }_V??\text{D}dV={\oint }_S\text{D}?\hat{n}dS={\text{D}}_{\perp }({\text{r}}_2,t)S_{底面}?{\text{D}}_{\perp }({\text{r}}_1,t)S_{底面}$$

而且
$${\int }_V{\rho }_{free}dV={\sigma }_{free}({\text{r}}_0,t)S_{底面}$$

綜上，
$${\text{D}}_{\perp }({\text{r}}_2,t)?{\text{D}}_{\perp }({\text{r}}_1,t)={\sigma }_{free}({\text{r}}_0,t)$$

也就是說，當電磁場經過介質交界面時，位于界面上的電荷發生電極化現象，使經過界面后電位移的垂直分量以界面電荷面密度的大小發生躍變。

磁場的邊界條件
使用Maxwell方程2，
$$?\times \text{H}={\text{J}}_{free}+\frac{?}{?t}\text{D}$$

這是關于場的旋度的，所以我們用能包圍${\text{r}}_0$的非常小的矩形作為輔助環路，并且這個矩形上下長邊與${\text{r}}_2?{\text{r}}_1$平行，${\text{r}}_1$位于下長邊，${\text{r}}_2$位于上長邊，矩形的外法線為$$\hat{n}=\frac{{\text{r}}_2?{\text{r}}_1}{|{\text{r}}_2?{\text{r}}_1|}$$對這個矩形使用Stokes定理，并假設矩形的短邊小到可以忽略不計，從而使磁場的垂直分量不起作用，則
$$\begin{gathered} {\int }_S?\times \text{H}?\hat{n}dS={\oint }_L\text{H}?d\text{L}={\text{H}}_{||}({\text{r}}_2,t)L_{長邊}?{\text{H}}_{||}({\text{r}}_1)L_{長邊} \\ ={\text{J}}_{free}({\text{r}}_0,t)\times \hat{n}{L}_{長邊} \end{gathered}$$

所以
$${\text{H}}_{||}({\text{r}}_2,t)?{\text{H}}_{||}({\text{r}}_1)={\text{J}}_{free}({\text{r}}_0,t)\times \hat{n}$$

這個關系直接用安培定律也可以得到，方法可以參考UA PHYS515A 電磁理論III 靜磁學問題3 靜磁學問題的邊界條件與標量勢方法的應用。

電場的邊界條件

用Maxwell方程3，方法與第二個類似，結論為
$${\text{E}}_{||}({\text{r}}_2,t)?{\text{E}}_{||}({\text{r}}_1,t)=0$$

磁感應強度的邊界條件
用Maxwell方程4，方法與第一個類似，結論為
$${\text{B}}_{\perp }({\text{r}}_2,t)?{\text{B}}_{\perp }({\text{r}}_1,t)=0$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI501 电磁波8 麦克斯韦方程边界条件的推导的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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