UA OPTI570 量子力学4 带不含时的标量势的粒子的薛定谔方程
UA OPTI570 量子力學4 帶不含時的標量勢的粒子的薛定諤方程
- 分離變量法
- 穩定態
之前提到波函數的形式由Schroedinger方程給出：i???tψ(r,t)=??22mΔψ(r,t)+V(r,t)ψ(r,t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi(\textbf r,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi(\textbf r,t)+V(\textbf r,t)\psi(\textbf r,t)i??t??ψ(r,t)=?2m?2?Δψ(r,t)+V(r,t)ψ(r,t)
上一講討論了V(r,t)=0V(\textbf r,t)=0V(r,t)=0的薛定諤方程，這一講稍微增加一點條件，假設有勢能，但勢能不隨時間變化，即V(r,t)=V(r)V(\textbf r,t)=V(\textbf r)V(r,t)=V(r)
分離變量法
討論Schroedinger方程
i???tψ(r,t)=??22mΔψ(r,t)+V(r)ψ(r,t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi(\textbf r,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi(\textbf r,t)+V(\textbf r)\psi(\textbf r,t)i??t??ψ(r,t)=?2m?2?Δψ(r,t)+V(r)ψ(r,t)
用分離變量法，假設ψ(r,t)=?(r)χ(t)\psi(\textbf r,t)=\phi(\textbf r)\chi(t)ψ(r,t)=?(r)χ(t)，代入薛定諤方程可得
i??(r)ddtχ(t)=??22mχ(t)Δ?(r)+V(r)?(r)χ(t)i\hbar \phi(\textbf r) \frac{d }{d t}\chi(t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\chi(t)\Delta \phi(\textbf r)+V(\textbf r)\phi(\textbf r)\chi(t)i??(r)dtd?χ(t)=?2m?2?χ(t)Δ?(r)+V(r)?(r)χ(t)
方程兩邊同時除以?(r)χ(t)\phi(\textbf r)\chi(t)?(r)χ(t),
i?χ(t)ddtχ(t)=1?(r)(??22mΔ?(r))+V(r)\frac{i\hbar}{\chi(t)}\frac{d }{d t}\chi(t) = \frac{1}{\phi(\textbf r)} \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \phi(\textbf r) \right)+V(\textbf r)χ(t)i??dtd?χ(t)=?(r)1?(?2m?2?Δ?(r))+V(r)
這樣就把時間放在了左邊，空間分在了右邊，這個等式要成立除非左右都等于常數。一個可能的例子是這個常數為?w\hbar w?w，那么左邊部分就是
i?χ(t)ddtχ(t)=?w\frac{i\hbar}{\chi(t)}\frac{d }{d t}\chi(t) =\hbar wχ(t)i??dtd?χ(t)=?w
它的解可以表示為
χ(t)=Ae?iwt\chi(t)=Ae^{-iw t}χ(t)=Ae?iwt
而右邊部分是
1?(r)(??22mΔ?(r))+V(r)=?w\frac{1}{\phi(\textbf r)} \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \phi(\textbf r) \right)+V(\textbf r)=\hbar w?(r)1?(?2m?2?Δ?(r))+V(r)=?w
這也是一個很常見的波動方程。所以波函數的一個特解可以是
ψ(r,t)=?(r)e?iwt\psi(\textbf r,t)=\phi(\textbf r)e^{-iwt}ψ(r,t)=?(r)e?iwt
這個形式的波函數被稱為薛定諤方程的stationary solution，因為這個形式的解與電磁理論中的time-harmonic field的形式類似，模與時間是無關的，而波函數的模決定了粒子的概率分布，所以stationary solution實際含義是粒子在空間中分布的概率與時間無關。
回想一下Planck-Einstein Relations：
E=?wE = \hbar wE=?w
代入到上面的波動方程中：
[??22mΔ+V(r)]?(r)=E?(r)\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +V(\textbf r) \right]\phi(\textbf r)=E\phi(\textbf r)[?2m?2?Δ+V(r)]?(r)=E?(r)
定義Hamiltonian為
H=??22mΔ+V(r)H=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +V(\textbf r)H=?2m?2?Δ+V(r)
這是一個非常重要的線性算子，后續會詳細介紹它的性質，但把它代入到波動方程中：
H?(r)=E?(r)H\phi(\textbf r)=E\phi(\textbf r)H?(r)=E?(r)
這是一個非常有趣的式子，如果把?(r)\phi(\textbf r)?(r)看成向量，把HHH看成矩陣，那么EEE就是HHH的一個特征值，?(r)\phi(\textbf r)?(r)是與之對應的特征向量；而實際上HHH是線性算子，?\phi?是表示物質粒子狀態的（平方可積的）波函數，我們可以把?(r)\phi(\textbf r)?(r)理解為L2L^2L2空間中的元素，而L2L^2L2空間是向量空間，所以實際上EEE也確實可以看成線性算子HHH的特征值。但是現階段在解這類薛定諤方程的時候，標準方法還是找到V(r)V(\textbf r)V(r)的表達式，代入
穩定態
假設{En}\{E_n\}{En?}表示HHH的特征值，那么對每一個EnE_nEn?都存在特征向量?n(r)\phi_n(\textbf r)?n?(r)與之對應：
H?n(r)=E?n(r)H\phi_n(\textbf r) = E\phi_n(\textbf r)H?n?(r)=E?n?(r)
稱這些波函數{?n}\{\phi_n\}{?n?}代表的狀態為穩定態(stationary state)，稱{En}\{E_n\}{En?}為這些穩定態對應的能階，而根據Planck-Einstein Relations，每一個穩定態對應的波函數也可以寫出來：
ψn(r,t)=?n(r)e?iEn?t\psi_n(\textbf r,t)=\phi_n(\textbf r)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}ψn?(r,t)=?n?(r)e?i?En??t
而所有穩定態對應波函數的線性組合就是薛定諤方程的通解：
ψ(r,t)=∑ncn?n(r)e?iEn?t\psi(\textbf r,t)=\sum_n c_n\phi_n(\textbf r)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}ψ(r,t)=n∑?cn??n?(r)e?i?En??t
總結
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