UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射8 單個粒子的輻射 勻速運動與勻加速運動的情況

單個粒子的輻射場滿足：
$$\begin{gathered} \text{E}=q{\left(\frac{(\hat{n}?\beta )(1?{\beta }^2)}{(1?\hat{n}?\beta {)}^3{R}^2}+\frac{\hat{n}\times [\hat{n}?\beta ]\times \dot{\beta }}{c(1?\hat{n}?\beta {)}^{3}R}\right)}_{\tilde{t}} \\ \text{B}=\hat{n}\times \text{E} \end{gathered}$$

第一項被稱為velocity term或者Coulomb term，它只與速度有關且形式與庫侖field的形式一致，并且當$\beta \to 0$，也就是點電荷運動速度相比光速可以忽略時，這一項退化為庫侖field；如果點電荷的運動沒有加速度，那么第二項為0；如果點電荷的運動存在加速度，第二項不為0，稱其為radiation field；

勻速運動
某個帶電粒子在$\hat{x}$方向以$\beta c$的速度勻速運動，運動之初的時刻為$\tilde{t}$，此時觀察者相對粒子的位移為$\text{R}(\tilde{t})$，這個位移與wave vector的方向$\hat{k}(\tilde{t})$相同，與$\hat{x}$的夾角為$\alpha$；一段時間后，當前時刻為$t$，此時觀察者相對粒子的位移為$\text{R}(t)$，這個位移的方向也與粒子在當前位置放出的電磁波wave vector方向$\hat{k}(t)$一致，與$\hat{x}$的夾角為$\theta$，粒子在這段時間的位移為$\beta R(\tilde{t})$。

因為粒子運動不存在加速度，所以電場僅來源于庫侖場
$$\text{E}=q\frac{(\hat{n}?\beta )(1?{\beta }^2)}{(1?\hat{n}?\beta {)}^3{R}^2}{|}_{\tilde{t}}$$

其中
$$\hat{n}?\beta =\frac{\text{R}(\tilde{t})}{R(\tilde{t})}?\beta \frac{R(\tilde{t})}{R(\tilde{t})}=\frac{1}{R(\tilde{t})}(\text{R}(\tilde{t})?\beta R(\tilde{t}))=\frac{\text{R}(t)}{R(\tilde{t})}$$

這一項決定了勻速直線運動的帶電粒子產生的電磁場的方向，令人驚訝的是當觀察者觀察到它產生的電磁場時，觀察者會發現電磁場的方向是由當前帶電粒子的位置而不是由被觀測到的電磁場激發時帶電粒子的位置決定的。一種比較直觀的理解方式是電場線總是從粒子指向四面八方的，粒子運動時電場線的起點也在運動。
$$\begin{gathered} (1?\hat{n}?\beta ){|}_{\tilde{t}}=1?\beta \cos \alpha \\ R(\tilde{t})(1?\hat{n}?\beta ){|}_{\tilde{t}}=\sqrt{R^2(t)?{\beta }^2{R}^2(\tilde{t}){\sin }^2\alpha } \\ =\sqrt{R^2(t)?{\beta }^2{R}^2(t){\sin }^2\theta } \end{gathered}$$

所以
$$\begin{gathered} \text{E}=q\frac{\text{R}(t)}{R(\tilde{t})}\frac{(1?{\beta }^2)}{R^2(\tilde{t})}\frac{R^3(\tilde{t})}{(R^2(t)?{\beta }^2{R}^2(t){\sin }^2\theta {)}^{3/2}} \\ =\frac{q\text{R}(t)(1?{\beta }^2)}{R^3(t)(1?{\beta }^2{\sin }^2\theta {)}^{3/2}} \end{gathered}$$

簡單觀察這個式子我們就能知道，當觀察者觀察到運動粒子的電磁場時，這個被觀察到的電磁場完全由這一時刻的粒子的性質所決定，并且此時場的形式已經不再是庫侖場了（靜止電荷的場），但如果$\beta \to 0$，也就是粒子幾乎靜止，這時
$$\text{E}=\frac{q\text{R}(t)}{R^3(t)}$$

這與庫侖定律一致。

勻加速運動

考慮與上例完全一致的設定，但假設$\dot{\beta }=a/c$為常數，并且$\beta <<1$
$$\begin{gathered} \text{E}=q{\left(\frac{\hat{n}\times [(\hat{n}?\beta )\times \dot{\beta }]}{c(1?\hat{n}?\beta {)}^{3}R}\right)}_{\tilde{t}} \\ \to q{\left(\frac{\hat{n}\times (\hat{n}\times \dot{\beta })}{cR}\right)}_{\tilde{t}}=\frac{qa}{c^2}\frac{\sin \theta }{R}\hat{\theta } \end{gathered}$$

Poyting vector的模為
$$|\text{S}|=\frac{c}{4\pi }|\text{E}{|}^2=\frac{q^2{a}^2{\sin }^2\theta }{4\pi c^3{R}^2}$$

這和我們熟悉的dipole的$|\text{S}|$是一致的。

總結

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