UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射9 簡(jiǎn)單輻射系統(tǒng)

前文討論了單個(gè)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的帶電粒子的輻射，但在實(shí)踐中只有在實(shí)驗(yàn)室才能觀察到這種現(xiàn)象，應(yīng)用中遇到的情況會(huì)更加復(fù)雜，比如多個(gè)粒子做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，多個(gè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，多個(gè)粒子做運(yùn)動(dòng)的輻射傳播路徑上還有其他帶電粒子影響輻射場(chǎng)等。這一講我們就來(lái)討論一下怎么處理這些更具有一般性的問(wèn)題。

回顧一下在時(shí)變電磁場(chǎng)中討論過(guò)的：在Lorentz gauge下
$$??\text{A}+\frac{1}{c}\frac{?\Phi }{?t}=0$$

potential的通解為
$$\begin{gathered} \text{A}=\frac{1}{c}\int \frac{\text{J}({\text{x}}^{\prime },t?\frac{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}{c})d^3{\text{x}}^{\prime }}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|} \\ \text{E}=\int \frac{\rho ({\text{x}}^{\prime },t?\frac{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}{c})d^3{\text{x}}^{\prime }}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|} \end{gathered}$$

通過(guò)potential可以得到電磁場(chǎng)
$$\begin{gathered} \text{E}=?\frac{1}{c}\frac{?}{?\text{A}}??\Phi \\ \text{B}=?\times \text{A}=\hat{n}\times \text{E}{|}_{\tilde{t}} \end{gathered}$$

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為簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們假設(shè)所有的變量都是time harmonic，用$\Gamma$表示一個(gè)物理量，即
$$\Gamma (\text{x},t)={\Gamma }_w(\text{x})e^{?iwt}$$

$w$對(duì)所有涉及到的物理量都是相同的，因此所有物理量的fourier term $e^{?iwt}$相同，我們可以用spatial term列方程。這樣我們只需要記住四個(gè)處理簡(jiǎn)單輻射問(wèn)題的最基本的方式就可以解決大部分作業(yè)題了：
$$??{\text{A}}_w?ik{\Phi }_w=0,k=w/c$$

在time harmonic時(shí)，
$$\begin{gathered} \text{A}={\text{A}}_w(\text{x})e^{?iwt} \\ \Phi ={\Phi }_w(\text{x})e^{?iwt} \end{gathered}$$

代入$$??\text{A}+\frac{1}{c}\frac{?\Phi }{?t}=0$$中即可得到這個(gè)方程。

類(lèi)似的，我們可以用time harmonic替換上文提到的其他幾個(gè)式子：
$$\begin{gathered} {\text{A}}_w=\frac{1}{c}\int {\text{J}}_w({\text{x}}^{\prime })\frac{e^{ik|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}{d}^3{\text{x}}^{\prime } \\ {\text{E}}_w=\frac{i}{k}?(??{\text{A}}_w)+ik{\text{A}}_w \\ {\text{B}}_w=?\times {\text{A}}_w=\hat{n}\times \text{E} \end{gathered}$$

在用以上幾個(gè)式子解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們需要根據(jù)具體情景寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的${\text{J}}_w$，另外需要專(zhuān)門(mén)處理一下的是$\frac{e^{ik|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}$這一項(xiàng)。假設(shè)觀察者的位置在source以外，也就是假設(shè)$|\text{x}|>|{\text{x}}^{\prime }|$，記$\gamma$為$\text{x}$與${\text{x}}^{\prime }$的夾角，則
$$k|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|=k|\text{x}|\sqrt{1+\frac{|{\text{x}}^{\prime }{|}^2}{|\text{x}{|}^2}?2\frac{|{\text{x}}^{\prime }|}{|\text{x}|}\cos \gamma }$$

用二項(xiàng)式定理展開(kāi)且只保留前三項(xiàng)：
$$k|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|\approx k|\text{x}|\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{|{\text{x}}^{\prime }{|}^2}{|\text{x}{|}^2}?\frac{|{\text{x}}^{\prime }|}{|\text{x}|}\cos \gamma \right)?\frac{1}{8}{\left(\frac{|{\text{x}}^{\prime }{|}^2}{|\text{x}{|}^2}?\frac{|{\text{x}}^{\prime }|}{|\text{x}|}\cos \gamma \right)}^2\right]$$

所以
$$e^{ik|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}\approx e^{ik|\text{x}|}{e}^{ik\frac{|{\text{x}}^{\prime }{|}^2}{2|\text{x}|}?ik|{\text{x}}^{\prime }|\cos \gamma }$$

我們考慮一種特殊情況，$|\text{x}|>>|{\text{x}}^{\prime }|$ (in the radiation zone)，此時(shí)
$$\frac{e^{ik|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}}{|\text{x}?{\text{x}}^{\prime }|}\approx \frac{e^{ik|\text{x}|}}{|\text{x}|}{e}^{?ik|{\text{x}}^{\prime }|\cos \gamma }$$

代入到向量勢(shì)的表達(dá)式中
$$\begin{gathered} {\text{A}}_w=\frac{e^{ik|\text{x}|}}{|\text{x}|}\int {\text{J}}_w{e}^{?ik|{\text{x}}^{\prime }|\cos \gamma }{d}^3{\text{x}}^{\prime } \\ ??{\text{A}}_w=\left(?\frac{\text{x}}{|\text{x}|}\frac{e^{ik|\text{x}|}}{|\text{x}{|}^2}+\frac{ik{e}^{ik|\text{x}|}}{|\text{x}|}\frac{\text{x}}{|\text{x}|}\right)\frac{1}{c}\int {\text{J}}_w{e}^{?ik|{\text{x}}^{\prime }|\cos \gamma }{d}^3{\text{x}}^{\prime } \end{gathered}$$

按理說(shuō)這里也需要對(duì)$\cos \gamma$求導(dǎo)，但因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline">$|\text{x}|>>|{\text{x}}^{\prime }|$，所以$\cos \gamma$的變化可以忽略不計(jì)。另外，我們把$1/|\text{x}{|}^2$項(xiàng)也忽略，則
$$??{\text{A}}_w\approx \frac{ik\text{x}}{|\text{x}|}?{\text{A}}_w$$

基于這個(gè)近似：
$$?(??{\text{A}}_w)\approx \frac{ik\text{x}}{|\text{x}|}(??{\text{A}}_w)=(ik{)}^2\frac{\text{x}}{|\text{x}|}\left(\frac{\text{x}}{|\text{x}|}?{\text{A}}_w\right)$$

記$\hat{r}=\text{x}/|\text{x}|,r=|\text{x}|$，則
$${\text{E}}_w=?ik[\hat{r}(\hat{r}?{\text{A}}_w)?{\text{A}}_w]=ik{\text{A}}_w^{\perp }$$

把${\text{A}}_w$按矢量的平行四邊形法則分解，$?[\hat{r}(\hat{r}?{\text{A}}_w)?{\text{A}}_w]$是他在垂直于$\hat{r}$方向的分量。

另外Poynting矢量可以表示為
$$\text{S}=\frac{c}{8\pi }Re({\text{E}}_w\times {\text{B}}_w^{?})=\frac{k^2}{8\pi c{r}^2}{\left[\int {\text{J}}_w^{\perp }({\text{x}}^{\prime })e^{?ik|{\text{x}}^{\prime }|\cos \gamma }{d}^3{\text{x}}^{\prime }\right]}^2\hat{r}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射9 简单辐射系统的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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