UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射7 運動點電荷的輻射

實際問題中輻射的source都是比較復雜的charge density與currency density，但作為比較簡單直觀易于理解的模型，我們可以先學習point charge與point currency。用${\text{r}}_o(\tilde{t})$表示point charge的位移，這里的$t$加了上標是為了強調這是retarded time，也就是source在過去某個時刻產生電磁波然后在未來某個時刻被我們觀察到。用$\text{x}$表示觀察者的位移，當觀察者觀察到電磁波時，point charge的位移為${\text{r}}_o(t)$，用這個位移作為參考位移。

point charge的density為
$$\begin{gathered} \rho ({\text{r}}^{\prime },t^{\prime })=q\delta ({\text{r}}^{\prime }?{\text{r}}_o(t^{\prime })) \\ \text{J}({\text{r}}^{\prime },t^{\prime })=q\text{v}\delta ({\text{r}}^{\prime }?{\text{r}}_o(t^{\prime })) \end{gathered}$$

假設$|\text{v}|<<c$，否則需要引入狹義相對論來完成推導，標量勢與向量勢滿足
$$\begin{gathered} ({?}^2?\frac{1}{c^2}\frac{{?}^2}{?t^2})\text{A}=?\frac{4\pi }{c}\text{J} \\ ({?}^2?\frac{1}{c^2}\frac{{?}^2}{?t^2})\Phi =?4\pi \rho \end{gathered}$$

用含時Green函數法寫出potential的積分解
$$\begin{gathered} \Phi (\text{x},t)=?\rho ({\text{r}}^{\prime },t^{\prime })\frac{\delta (t^{\prime }?t+\frac{|\text{x}?{\text{r}}^{\prime }|}{c})}{|\text{x}?{\text{r}}^{\prime }|}d{\text{r}}^{\prime }d{t}^{\prime } \\ =\int \frac{\rho ({\text{r}}^{\prime },t?\frac{|\text{x}?{\text{r}}^{\prime }|}{c})}{|\text{x}?{\text{r}}^{\prime }|}d{\text{r}}^{\prime }=q\int \frac{\delta ({\text{r}}^{\prime }?{\text{r}}_o(t?\frac{|\text{x}?{\text{r}}^{\prime }|}{c}))}{|\text{x}?{\text{r}}^{\prime }|}d{\text{r}}^{\prime } \\ \text{A}(\text{x},t)=\frac{1}{c}\int \frac{\text{J}({\text{r}}^{\prime },t?\frac{|\text{x}?{\text{r}}^{\prime }|}{c})}{|\text{x}?{\text{r}}^{\prime }|}d{\text{r}}^{\prime } \\ =q\int \frac{\beta (t?\frac{|\text{x}?{\text{r}}^{\prime }|}{c})\delta ({\text{r}}^{\prime }?{\text{r}}_o(t?\frac{|\text{x}?{\text{r}}^{\prime }|}{c}))}{|\text{x}?{\text{r}}^{\prime }|}d{\text{r}}^{\prime } \end{gathered}$$

接下來就比較難搞了，因為Dirac函數的自變量是函數，所以需要引入一些關于Dirac函數的新的技巧來完成后續積分。

記$\text{R}=\text{x}?{\text{r}}^{\prime }$，$\hat{n}$表示$\text{R}$的方向，考慮$\Phi$的表達式：
$$q\int \frac{\delta ({\text{r}}^{\prime }?{\text{r}}_o(t?\frac{R}{c}))}{R}d{\text{r}}^{\prime }$$

定義
$$\begin{gathered} {\text{r}}^{?}={\text{r}}^{\prime }?{\text{r}}_o(t?\frac{R}{c}) \\ d{\text{r}}^{?}=[1?\hat{n}(\tilde{t})?\beta (\tilde{t})]d^3{\text{r}}^{\prime } \end{gathered}$$

變換積分變量，
$$\Phi =q\int \frac{\delta ({\text{r}}^{?})d^3{\text{r}}^{?}}{|\text{x}?{\text{r}}^{?}?{\text{r}}_0(\tilde{t})|(1?\hat{n}?\beta )}=\frac{q}{(1?\hat{n}?\beta )R}{|}_{\tilde{t}}$$

同樣的方法可以得到
$$\text{A}=\frac{q\beta }{(1?\hat{n}?\beta )R}{|}_{\tilde{t}}$$

稱這兩個解為Lienard-Wiechert potentials。知道了勢之后可以寫出電磁場
$$\begin{gathered} \text{E}=??\Phi ?\frac{1}{c}\frac{?}{?t}\text{A} \\ \text{B}=?\times \text{A} \end{gathered}$$

一種比較常用的計算方法是將勢重新寫為關于時間的積分形式
$$\begin{gathered} \Phi (\text{x},t)=q\int \frac{\delta (t^{\prime }?t+\frac{R(t^{\prime })}{c})}{R(t^{\prime })}d{t}^{\prime } \\ \text{A}(\text{x},t)=q\int \frac{\beta (t^{\prime })\delta (t^{\prime }?t+\frac{R(t^{\prime })}{c})}{R(t^{\prime })}d{t}^{\prime } \end{gathered}$$

先引入一個關于Dirac函數的性質，其實就是對前面換元法的抽象：
$$\int \delta (f(x))dx=\int \delta (f(x))\frac{df}{df/dx}=\frac{1}{\frac{df}{dx}{|}_{x=0}}$$

如果
$$\begin{gathered} f(t^{\prime })=t^{\prime }?t+\frac{R(t^{\prime })}{c} \\ {f}^{\prime }(t^{\prime })\approx 1?\frac{2(\text{x}?{\text{r}}^{\prime })?\dot{{\text{r}}^{\prime }}}{2Rc}=1?\hat{n}?\beta \end{gathered}$$

這是對前文變量替換時多出來的contraction effect的解釋。在這個積分形式下計算導數并帶入電磁場的表達式（計算過程有點長，就省略了，有需要的話可以翻一下Jackson的書）
$$\begin{gathered} \text{E}=?q\int ?\left(\frac{\delta (t^{\prime }?t+\frac{R}{c})}{R}\right)d{t}^{\prime }?\frac{q}{c}\frac{d}{dt}\int \frac{\beta \delta (t^{\prime }?t+\frac{R}{c})}{R}d{t}^{\prime } \\ =q\frac{\hat{n}}{(1?\hat{n}?\beta )R^2}{|}_{\tilde{t}}+\frac{q}{c}\frac{d}{dt}\frac{\hat{n}?\beta }{(1?\hat{n}?\beta )R}{|}_{\tilde{t}} \\ =q{\left(\frac{(\hat{n}?\beta )(1?{\beta }^2)}{(1?\hat{n}?\beta )R^2}+\frac{\hat{n}\times [\hat{n}?\beta ]\times \dot{\beta }}{c(1?\hat{n}?\beta {)}^{3}R}\right)}_{\tilde{t}} \end{gathered}$$

第一項被稱為velocity term或者Coulomb term，它只與速度有關且形式與庫侖field的形式一致，并且當$\beta \to 0$，也就是點電荷運動速度相比光速可以忽略時，這一項退化為庫侖field；如果點電荷的運動沒有加速度，那么第二項為0；如果點電荷的運動存在加速度，第二項不為0，稱其為radiation field

總結

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