UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射6 波導

波導(wave guide)是用來定向引導電磁波的結構，它為我們研究邊界條件對電磁波傳播的影響提供了一個簡單的模型。假設電磁波的形式為
$$\text{E}={\text{E}}_w{e}^{?iwt},\text{B}={\text{B}}_w{e}^{?iwt}$$

真空中的它適用的Maxwell方程為
$$\begin{gathered} ?\times {\text{E}}_w=\frac{iw}{c}{\text{B}}_w \\ ??{\text{E}}_w=0 \\ ?\times {\text{B}}_w=i\mu ?\frac{w}{c}{\text{E}}_w \\ ??{\text{B}}_w=0 \end{gathered}$$

上面的方程可以改寫為Helmholtz方程：
$$\begin{gathered} ({?}^2+\frac{w^2}{c^2})\text{E}=0 \\ ({?}^2+\frac{w^2}{c^2})\text{B}=0 \end{gathered}$$

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假設介質是一個截面形狀任意的柱狀體，則電場可以表示為
$${\text{E}}_w={\text{E}}_{wt}(x,y)e^{i{k}_{g}z}$$

第一項限制電磁波在截面內的形狀；第二項表示電磁波在$z$軸方向的傳播；假設磁場也可以類似表示；則Helmholtz方程可以寫成：
$$\begin{gathered} (\frac{{?}^2}{?x^2}+\frac{{?}^2}{?y^2}+\frac{w^2}{c^2}?k_g^2){\text{E}}_{wt}(x,y)=0 \\ (\frac{{?}^2}{?x^2}+\frac{{?}^2}{?y^2}+\frac{w^2}{c^2}?k_g^2){\text{E}}_{wt}(x,y)=0 \end{gathered}$$

我們可以先不急著解這個二階的PDE，先回顧一下一階的方程：
$$?\times {\text{E}}_w=\frac{iw}{c}{\text{B}}_w$$

$x$方向的分量為
$$\frac{?}{?y}{E}_{wtz}?i{k}_g{E}_{wty}=i\frac{w}{c}{B}_{wtx}$$

再考慮Ampere定律$$?\times {\text{B}}_w=?\frac{iw}{c}{\text{E}}_w$$

$y$方向的分量為
$$?\frac{?}{?x}{B}_{wtz}+i{k}_g{B}_{wtx}=?i\frac{w}{c}{E}_{wty}$$

聯合上面兩個分量形式的方程，消去$E_{wty}$，
$$B_{wtx}=?\frac{i}{(\frac{w}{c}{)}^2?k_g^2}\left(\frac{w}{c}\frac{?E_{wtz}}{?y}?k_g\frac{?B_{wtz}}{?x}\right)$$

同理可以得到另外的分量：

$$\begin{gathered} B_{wty}=\frac{i}{(\frac{w}{c}{)}^2?k_g^2}\left(\frac{w}{c}\frac{?E_{wtz}}{?x}+k_g\frac{?B_{wtz}}{?y}\right) \\ {E}_{wtx}=\frac{i}{(\frac{w}{c}{)}^2?k_g^2}\left(\frac{w}{c}\frac{?B_{wtz}}{?y}+k_g\frac{?E_{wtz}}{?x}\right) \\ {E}_{wty}=?\frac{i}{(\frac{w}{c}{)}^2?k_g^2}\left(\frac{w}{c}\frac{?B_{wtz}}{?x}?k_g\frac{?E_{wtz}}{?y}\right) \end{gathered}$$

由此可見，只要我們能解出$z$方向的分量，我們就可以得到電磁波的方程了。在實踐中有三種特殊情況：

transverse electric ($E_{wtz}=0$) 橫電波或TE模

transverse magnetic ($B_{wtz}=0$) 橫磁波或TM模

transverse electromagnetic 橫電磁波或TEM模

這三種是電磁波在傳輸線中常見的三種模式。但即使在一般情況中，我們也只需要求解
$$\begin{gathered} (\frac{{?}^2}{?x^2}+\frac{{?}^2}{?y^2}+\frac{w^2}{c^2}?k_g^2)E_{wtz}(x,y)=0 \\ (\frac{{?}^2}{?x^2}+\frac{{?}^2}{?y^2}+\frac{w^2}{c^2}?k_g^2)B_{wtz}(x,y)=0 \end{gathered}$$

例 矩形傳輸線
假設導線截面為$\{(x,y,z):0\le x\le a,0\le y\le b\}$，則導線邊界上的電場為0，電場與磁場的一般形式為
$${\text{E}}_w={\text{E}}_{wt}(x,y)e^{i{k}_{g}z},{\text{B}}_w={\text{B}}_{wt}(x,y)e^{i{k}_{g}z}$$

且只需求解
$$\begin{gathered} (\frac{{?}^2}{?x^2}+\frac{{?}^2}{?y^2}+\frac{w^2}{c^2}?k_g^2)E_{wtz}(x,y)=0 \\ (\frac{{?}^2}{?x^2}+\frac{{?}^2}{?y^2}+\frac{w^2}{c^2}?k_g^2)B_{wtz}(x,y)=0 \end{gathered}$$

如果是TM模，則第二個方程中$B_{wtz}=0$，第一個方程的一般解為
$$\begin{gathered} E_{wtz}=E_0\sin (k_{x}x)\sin (k_{y}y),k_x=\frac{m\pi }{a},k_y=\frac{n\pi }{b},m,n\in \mathbb{N} \\ {k}_g^2+k_x^2+k_y^2=\frac{w^2}{c^2}?k_g^2=\frac{w^2}{c^2}?{\pi }^2(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}) \end{gathered}$$

通過調整導線的尺寸$a,b$，我們可以通過控制$k_g$來改變電磁波沿$z$方向傳播的形式(with attenuation or without attenuation etc.)。

總結

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