UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射2 電磁波的能量

在討論電磁場的能量時，我們引入了Poynting矢量，為了描述波動，我們把電場與磁場描述為時空的復變函數，因此Poynting矢量也需要做一些修正：
$$S=\frac{c}{8\pi }E\times H^{?}$$

$H^{?}$表示mangetic field的共軛，這里用magnetic field而不是magnetic induction是因為避免在公式中引入介電常數和磁導率，因為這兩個值受介質屬性的影響，在某些介質中可能是關于空間的函數，推導微分公式的時候也就需要把介電常數與磁導率也考慮進來，因此為了規避這些操作，讓公式更簡便，用magnetic field會更方便。下面展開Poynting矢量
$$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}\frac{c}{4\pi }[(E_{o,Re}\times H_{0,Re}+E_{o,Im}\times H_{0,Im}) \\ +i(E_{o,Im}\times H_{0,Re}?E_{o,Re}\times H_{0,Im})] \end{gathered}$$

于是
$$Re[S]=\frac{c}{8\pi }(E_{o,Re}\times H_{0,Re}+E_{o,Im}\times H_{0,Im})$$

在非導體介質中，$M=0$，
$$H=\frac{1}{\mu }B$$

上一講推導了
$$B_0=\sqrt{\mu ?}\hat{k}\times E_0$$

因此
$$S=\frac{c}{8\pi }\sqrt{?/\mu }|E_0{|}^2\hat{k}$$

其中$|E_0{|}^2$由實部與虛部構成，所以修正后的Poynting矢量是除以$8$而不是$4$。

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考慮一個截面積為$A$，長度為$vdt$的區域，當電磁波穿過這個區域時，流經這個區域的能量為
$$\begin{gathered} uAvdt=S?Adt \\ u=\frac{S?\hat{n}}{v} \end{gathered}$$

簡單起見，假設$S$與外法線方向平行，則
$$u=\frac{\sqrt{\mu ?}}{c}\frac{c}{8\pi }\sqrt{\frac{?}{\mu }}|E_0{|}^2=\frac{?}{8\pi }|E_0{|}^2$$

這個結論與Faraday的實驗一致。

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總結

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