UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射5 电磁波在介质中的传播
UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射5 電磁波在介質中的傳播
在介紹麥克斯韋方程的時候，我們提到過
D?=E?+4πP?\vec D = \vec E + 4 \pi \vec PD=E+4πP
P?\vec PP表示polarization vector，D?\vec DD是dielectric displacement vector，在各向同性線性介質中，
D?=?E?\vec D = \epsilon \vec ED=?E
?\epsilon?表示permittivity，是一個常數，現在我們放松這個假設，考慮更一般的設定：?=?(w)\epsilon=\epsilon(w)?=?(w)，即電磁波的頻率會影響介電常數。下面我們用一個簡單的例子看看頻率與介電常數如何聯系起來。
例 假設有一個帶電粒子，它的運動頻率為w0w_0w0? (restoring), 阻尼系數為γ\gammaγ，電場為E?=E?0e?iwt\vec E = \vec E_0e^{-iwt}E=E0?e?iwt，restoring force和friction分別為
F?rest=?mew02r?F?fric=?meγr?˙\vec F_{rest} = -m_ew_0^2\vec r \\ \vec F_{fric} = -m_e\gamma \dot{\vec r}Frest?=?me?w02?rFfric?=?me?γr˙
根據牛頓第二定律，
me(r?¨+γr?˙+w02r?)=eE?m_e(\ddot{\vec r}+\gamma \dot{\vec r}+w_0^2 \vec r)=e \vec Eme?(r¨+γr˙+w02?r)=eE
這就是經典的周期性外力作用下帶阻尼的彈簧運動方程，它的一個特解是
r?=eE?/mew02?w2?iwγ\vec r = \frac{e \vec E/m_e}{w_0^2-w^2-iw\gamma}r=w02??w2?iwγeE/me??
接下來，我們嘗試由外部電場激發出的dipole moment，單個帶電粒子激發出的dipole moment是er?e \vec rer，假設某個介質含有NNN個這樣的粒子，那么
P?=Ner?=e2E?N/mew02?w2?iwγ\vec P = Ne \vec r = \frac{e^2 \vec E N/m_e}{w_0^2-w^2 - iw \gamma}P=Ner=w02??w2?iwγe2EN/me??
于是
D?=(1+4πe2N/mew02?w2?iwγ)E?\vec D = \left( 1+\frac{4 \pi e^2N/m_e}{w_0^2-w^2-iw\gamma} \right) \vec ED=(1+w02??w2?iwγ4πe2N/me??)E
顯然介電常數是與頻率有關的，
?(w)=1+4πe2N/mew02?w2?iwγ\epsilon(w)= 1+\frac{4 \pi e^2N/m_e}{w_0^2-w^2-iw\gamma}?(w)=1+w02??w2?iwγ4πe2N/me??
現在我們寫出電磁波在介質中傳播的麥克斯韋方程，同樣假設沒有source，那么
??E?=0??B?=0?×E?+1c?B??t=0?×B??μ?c?E??t=4πμcJ?\nabla \cdot \vec{E} = 0\\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0 \\ \nabla \times \vec{B}-\frac{\mu \epsilon}{c}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{4 \pi \mu}{c} \vec J??E=0??B=0?×E+c1??t?B?=0?×B?cμ???t?E?=c4πμ?J
使用常規技巧，取后兩個方程的旋度化簡可得：
??2E?+μ?c2?2E??t2=???t4πμcJ???2B?+μ?c2?2B??t2=4πμc?×J?-\nabla^2 \vec E + \frac{\mu \epsilon}{c^2 }\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}=-\frac{\partial }{\partial t} \frac{4 \pi \mu}{c} \vec J \\ -\nabla^2 \vec B + \frac{\mu \epsilon}{c^2 }\frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}= \frac{4 \pi \mu}{c} \nabla \times \vec J ??2E+c2μ???t2?2E?=??t??c4πμ?J??2B+c2μ???t2?2B?=c4πμ??×J
這兩個方程是非齊次的四維時空中的波動方程，等式右邊的非齊次項用來model介電常數的頻率相關性，我們可以直接寫出它們特解的形式：
E?=E?weiwt,B?=B?weiwt\vec E = \vec E_w e^{iwt},\vec B = \vec B_w e^{iwt}E=Ew?eiwt,B=Bw?eiwt
假設J?=J?weiwt\vec J = \vec J_w e^{iwt}J=Jw?eiwt，代入原方程后可以得到Helmholtz方程：
[?2+k2(w)]E?w=?4πicμ?k(w)J?w[?2+k2(w)]B?w=?4πμc?×J?w[\nabla^2 + k^2(w)] \vec E_{w}=-\frac{4 \pi i}{c}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}k(w) \vec J_w \\ [\nabla^2 + k^2(w)] \vec B_{w} =- \frac{4 \pi \mu}{c} \nabla \times \vec J_w [?2+k2(w)]Ew?=?c4πi??μ??k(w)Jw?[?2+k2(w)]Bw?=?c4πμ??×Jw?
其中
k(w)=n(w)wc,n(w)=μ?k(w) = \frac{n(w)w}{c}, n(w)=\sqrt{\mu \epsilon}k(w)=cn(w)w?,n(w)=μ??
因為E?\vec EE與B?\vec BB在電磁場中的地位是對稱的，所以我們希望上面的兩個Helmholtz方程形式再接近一點，為此引入generalized Ohm‘s law：
J?w=ΓE?w,Γ=ΓRe+iΓIm\vec J_w = \Gamma \vec E_w, \Gamma = \Gamma_{Re}+i \Gamma_{Im}Jw?=ΓEw?,Γ=ΓRe?+iΓIm?
將Helmholtz方程合并為
[?2+k2(w)+i4πn(w)Γc?][E?wB?w]=0[\nabla^2+k^2(w)+i\frac{4 \pi n(w) \Gamma}{c \epsilon}] \left[ \begin{matrix} \vec E_w \\ \vec B_w \end{matrix} \right]=0[?2+k2(w)+ic?4πn(w)Γ?][Ew?Bw??]=0
這就與我們上一章用過的Helmholtz方程不一樣了，所以我們重新定義一下wave number：
[k′(w)]2=[k(w)]2+i4πn(w)Γc?[ k'(w)]^2=[k(w)]^2+i\frac{4 \pi n(w) \Gamma}{c \epsilon}[k′(w)]2=[k(w)]2+ic?4πn(w)Γ?
于是
E?w=E?0eik′(w)?r?=E?0eikr′(w)?r??propagation?e?ki′(w)?r??attenuation\vec E_w = \vec E_0 e^{ik'(w) \cdot \vec r} \\ = \vec E_0 \underbrace{e^{ik'_r(w)\cdot \vec r}}_{propagation} \cdot \underbrace{e^{-k'_i(w) \cdot \vec r}}_{attenuation}Ew?=E0?eik′(w)?r=E0?propagationeikr′?(w)?r???attenuatione?ki′?(w)?r??
考慮幾種特例：Γ=?iNwe2me(w02?w2?iwγ)\Gamma = \frac{-iNwe^2}{m_e(w_0^2-w^2-iw\gamma)}Γ=me?(w02??w2?iwγ)?iNwe2?
總結
以上是生活随笔為你收集整理的UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射5 电磁波在介质中的传播的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： UA PHYS515A 电磁理论V 电磁
- 下一篇： Horseshoe prior的R pa