UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射1 电磁波的方程
UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射1 電磁波的方程
這是春季學(xué)期的最后一章，從這一章開始我們研究電磁波的性質(zhì)。春季學(xué)期四章分別介紹靜電學(xué)問題、靜磁學(xué)問題、運(yùn)動(dòng)的source產(chǎn)生電磁場(chǎng)、以及無source時(shí)電磁波的傳播；秋季學(xué)期會(huì)引入俠義相對(duì)論為工具，研究電磁場(chǎng)與source的交替作用。
在介質(zhì)中，無源的電磁場(chǎng)滿足下面的麥克斯韋方程：
??E?=0??B?=0?×E?+1c?B??t=0?×B??μ?c?E??t=0\nabla \cdot \vec{E} = 0\\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0 \\ \nabla \times \vec{B}-\frac{\mu \epsilon}{c}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = 0??E=0??B=0?×E+c1??t?B?=0?×B?cμ???t?E?=0
用Fourier component表示電場(chǎng)與磁場(chǎng)的波動(dòng)：
E?=E?0ei(k??x??wt),B?=B?0ei(k??x??wt)\vec E = \vec E_0e^{i(\vec k \cdot \vec x-wt)},\vec B = \vec B_0e^{i(\vec k \cdot \vec x - wt)}E=E0?ei(k?x?wt),B=B0?ei(k?x?wt)
其中www是角速度，x?\vec xx是位置，k?\vec kk滿足
k??k?=(w/v)2,v=cμ?\vec k \cdot \vec k = (w/v)^2,v = \frac{c}{\sqrt{\mu \epsilon}}k?k=(w/v)2,v=μ??c?
∣k?∣|\vec k|∣k∣被稱為wave number，vvv是波速。
下面我們把Fourier component表示的電場(chǎng)與磁場(chǎng)代入麥克斯韋方程中，以此得到一些電磁波傳播的規(guī)律’。
??E?=??E?0ei(k??x??wt)=i(k??E?0)ei(k??x??wt)=0?k??E?0=0\nabla \cdot \vec E = \nabla \cdot \vec E_0e^{i(\vec k \cdot \vec x-wt)} = i(\vec k \cdot \vec E_0)e^{i(\vec k \cdot \vec x-wt)}=0 \\ \Rightarrow \vec k \cdot \vec E_0 = 0??E=??E0?ei(k?x?wt)=i(k?E0?)ei(k?x?wt)=0?k?E0?=0
類似地，k??B?0=0\vec k \cdot \vec B_0=0k?B0?=0；根據(jù)第四個(gè)方程
k^×B?0=?μ?E?0k^×(k^×B?0)=?μ?k^×E?0(k^?B?0)k^?(k^?k^)B?=?μ?k^×E?0B?0=μ?k^×E?0\hat k \times \vec B_0 = -\sqrt{\mu \epsilon} \vec E_0 \\ \hat k \times (\hat k \times \vec B_0) = -\sqrt{\mu \epsilon} \hat k \times \vec E_0 \\ (\hat k \cdot \vec B_0)\hat k-(\hat k\cdot \hat k) \vec B = -\sqrt{\mu \epsilon} \hat k \times \vec E_0 \\ \vec B_0 = \sqrt{\mu \epsilon} \hat k \times \vec E_0k^×B0?=?μ??E0?k^×(k^×B0?)=?μ??k^×E0?(k^?B0?)k^?(k^?k^)B=?μ??k^×E0?B0?=μ??k^×E0?
這說明在電磁波的傳播中，如果介質(zhì)不是導(dǎo)體，那么電磁波是橫波，并且磁場(chǎng)方向、電場(chǎng)方向與波的傳播方向滿足右手法則。
總結(jié)
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