UA MATH571B 試驗設計 2k析因設計理論下

• Confounding
• • Blocking $2^2$析因設計
  • Blocking $2^3$析因設計
  • principal block
• Fractional $2^k$ Design
• • $2^{3?1}$ Design
  • Design Resolution
  • $2^{k?p}$ Design

這一講介紹$2^k$析因設計中的blocking、confounding的概念以及分數$2^k$析因設計的基本原理。Blocking比較簡單，當$2^k$析因試驗有潛在的nuisance factor的時候就做blocking就可以了，在$k$個treatment factor之外再做blocking的話殘差自由度就不會為0，可以做ANOVA，分析方法比較常規。

Confounding

然而還是有上一講提到的問題，試驗資源不一定能保證$2^k$析因設計能做重復試驗，那么要保證每個block有$2^k$個試驗單元自然也是很困難的。這時就需要Confounding技術了。Confounding的好處是能夠讓Blocking $2^k$析因試驗用$2^k$個試驗單元完成（但每個block包含的試驗單元是少于$2^k$的），缺點是會導致至少一個treatment effect與block effect混淆，也就是統計模型將無法識別出那個treatment effect。下面介紹對Blocking $2^k$析因試驗做confounding的方法。

Blocking $2^2$析因設計

我們先討論最簡單的情況，假設我們要對$2^2$設計做Blocking，假設Block數目為2，相當于就要把只有一次試驗的$2^2$設計的4個試驗單元隨機分入兩個Block，每個Block會有兩個試驗單元。一種分法如下圖所示，將effect $(1),ab$作為一個block，將$a,b$作為另一個block。

這時我們研究一下 交互項AB的效應，參考UA MATH571B 試驗設計V 2K析因設計簡介中介紹的，可以寫成
$$\frac{1}{2}[ab+(1)?a?b]$$

這個正好是Block effect，因此我們稱AB confounded with blocks。

Blocking $2^3$析因設計

假設我們要對$2^3$設計做Blocking，假設Block數目為2，相當于就要把只有一次試驗的$2^3$設計的8個試驗單元隨機分入兩個Block，每個Block會有四個試驗單元。如果ABC confounded with blocks，那么我們應該將effect $(1),ab,ac,bc$作為一個block，將$a,b,a,abc$作為另一個block。

下面推導為什么應該這樣分組。在UA MATH571B 試驗設計III 單因素試驗設計3中我們介紹了效應的線性組合與contract，在$2^3$析因設計中，我們可以用下面的contract表示各個treatment effect：
$$L={\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+{\alpha }_3{x}_3$$

其中${\alpha }_i=0,1,x_i=0,1,?i=1,2,3$，$i=1,2,3$分別代表因子A,B,C，${\alpha }_i$代表交叉相中是否加入這個因子，$x_i=0$表示因子是low level，$x_i=1$表示因子是high level。$L$是Galois域$GF(2)$上的多項式，關于Galois域的介紹可以參考UA MATH636 信息論9 有限域簡介。因為ABC confounded with blocks，所以${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3=1$，因此
$$L=x_1+x_2+x_3$$

Galois域$GF(p)$上加法$a+b$的定義是$(a+b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$，所以各項treatment effect表示為
$$\begin{gathered} (1):L=0+0+0=0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2 \\ a:L=1+0+0=1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2 \\ b:L=0+1+0=1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2 \\ c:L=0+0+1=1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2 \\ ab:L=1+1+0=0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2 \\ ac:L=1+0+1=0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2 \\ bc:L=0+1+1=0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2 \\ abc:L=1+1+1=1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2 \end{gathered}$$

根據contract的不同，將上述treatment effect分為兩組，就是上圖所示的結果。稱包含$(1)$的block1為principal block。

principal block

之所以稱包含$(1)$的block1為principal block是因為其他block包含的treatment effect可以用principal block中的treatment effect生成。下面介紹一下treatment effect的運算規則。上面介紹的contract的方法實際上給了一種treatment effect的uniquely decodable code的編碼方式，比如$(1)$的是$(0,0,0)$，$abc$的是$(1,1,1)$。首先確定$a$在另一個block，要生成$b$可以考慮碼的加法（$GF(2)$中的加法）
$$(1,0,0)+(1,1,0)=(0,1,0)$$

為了簡化記號，我們將這個關系記為
$$a?ab=a^{2}b=(1)b=b$$

類似的可以寫出另外兩個treatment
$$\begin{gathered} a?ac=a^{2}c=c \\ a?bc=abc \end{gathered}$$

注意這里指的“生成”，并不是指的treatment effect可以這樣計算，而是說treatment effect的記號滿足這種運算規則。treatment effect的值還是需要基于試驗數據計算的。這種記號運算的規則以及編碼方式比較有用。

Confounding技術能保證殘差自由度不會為0，所以confounding主要是用在設計的步驟的，獲得試驗數據之后就按常規ANOVA的思路分析即可。

Fractional $2^k$ Design

這一部分討論更窮的情況，假設試驗資源甚至不夠做完一組$2^k$設計，那就只能做半組或者1/4組了，這種試驗設計叫Fractional $2^k$ Design。

$2^{3?1}$ Design

假設我們要研究A、B、C三個factor，但我們沒那么多經費去做$2^3$試驗，只能用一般的試驗資源，做一個$2^{3?1}$試驗。前面介紹confouding技術的時候就有這個性質，把$2^k$試驗單元分入兩個block，那么每個block中的treatment effect數目就是$2^{k?1}$。基于confounding技術，我們可以進一步建立起把$2^k$設計變成$2^{k?1}$設計的操作。前面的Blocking $2^3$析因設計是把ABC confounded，這里是定義$I=ABC$，稱這個式子為defining relation，需要注意的是$2^{k?1}$不可能做得出full model的識別，只能識別出full model的一半的效應，所以推導的結果是我們要研究哪些factor的effect。

現在，基于前面介紹的effect記號的規則，我們會發現：
$$\begin{gathered} A=A?I=A?ABC=A^{2}BC=BC \\ AB=AB?I=AB?ABC=A^2{B}^{2}C=C \end{gathered}$$

也就是說在$I=ABC$這個defining relation下，$A$和$BC$的因子效應是相等的，$AB$和$C$的因子效應是相等的，稱$A$和$BC$是alias，$AB$和$C$是alias，當然不止這兩對alias，這里不一一列舉。

Design Resolution

我們稱上面這種$I=ABC$的$2^{3?1}$設計為resolution III design，記為$2_{III}^{(3?1)}$ Design。最常用三種Design Resolution是III、IV、V的：

resolution III design：所有的單個因子的效應不會互為alias

resolution IV design：所有的單個因子的效應不會與單個因子的效應或兩個因子的交互效應互為alias

resolution V design：所有的單個因子的效應或兩個因子的交互效應不會與單個因子的效應或兩個因子的交互效應互為alias

$2^{k?p}$ Design

對于任意的這種分數設計，這里介紹幾個設計試驗的原則：

highest possible resolution

minimum aberration design

highest possible resolution的意思是能用resolution IV design，就不用resolution III design。教材有個例子挺好的，這里摘錄一下：對于$2^{6?2}$，we used the generators E = ABC and
F = BCD, thereby producing a design of resolution IV. This is the maximum resolution
design. If we had selected E = ABC and F = ABCD, the complete defining relation would
have been I = ABCE = ABCDF = DEF, and the design would be of resolution III. 第二個原則可以參考教材的這個例子

Notice that the defining rela-tion for design C has only one four-letter word, whereas the other designs have two or three. Thus, design C minimizes the number of words in the defining relation that are of minimum length. We call such a design a minimum aberration design.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH571B 试验设计 2k析因设计理论下的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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