UA MATH571B 試驗(yàn)設(shè)計(jì) 2k析因設(shè)計(jì)理論上

• $2^k$析因設(shè)計(jì)
• • 因子效應(yīng)的計(jì)算
  • ANOVA table
• Single-replicate $2^k$析因設(shè)計(jì)

$2^k$析因設(shè)計(jì)（factorial design）在QE中幾乎是必考的內(nèi)容，但經(jīng)過(guò)上課作業(yè)考試以后感覺(jué)還是停留在入門的程度，不得已只能自學(xué)一下教材。$2^k$析因設(shè)計(jì)包括的內(nèi)容是$2^k$析因設(shè)計(jì)的基本原理、Confounding和fractional $2^k$析因設(shè)計(jì)，分上下兩篇博文介紹它們的概念和統(tǒng)計(jì)模型。

先澄清基本概念，$2^k$析因設(shè)計(jì)中的兩個(gè)關(guān)鍵詞，析因設(shè)計(jì)在UA MATH571B 試驗(yàn)設(shè)計(jì)V 析因設(shè)計(jì)簡(jiǎn)介中已經(jīng)介紹過(guò)了，它與之前的RCBD最大的不同在于析因設(shè)計(jì)分析的treatment factor不止一個(gè)；$2^k$的含義是假設(shè)有$k$個(gè)treatment factor，那么每個(gè)factor我們只取兩個(gè)factor level來(lái)做試驗(yàn)，一個(gè)level被稱為high level，另一個(gè)被稱為low level。

通常我們不會(huì)用$2^k$析因設(shè)計(jì)去做一個(gè)完整的試驗(yàn)，而是把它作為一個(gè)研究的預(yù)試驗(yàn)。它的好處是能夠以較少的試驗(yàn)資源分析因子的重要性，幫助我們排除掉一些不重要的因子與效應(yīng)，從而提高試驗(yàn)效率并構(gòu)建更準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)模型。

$2^k$析因設(shè)計(jì)

先來(lái)學(xué)習(xí)一下$2^k$析因設(shè)計(jì)中的treatment effect的記號(hào)。假設(shè)我們想要研究四個(gè)treatment factor，那么只有一個(gè)factor為high level的effect我們記為：a,b,c,d；兩個(gè)factor為high level的效應(yīng)我們記為：ab, ac, ad, dc,db,cd；三個(gè)factor為high level的效應(yīng)記為：abc, abd, acd, bcd；四個(gè)factor為high level的效應(yīng)記為：abcd；比如a表示只有因素A為high level，BCD均為low level的effect；abd表示因素ABD均為high level，C為low level的effect，另外用(1)表示所有因素均為low level的effect。但通常我們不按照這個(gè)順序排列，我們按standard order來(lái)排列這些effect：
$$(1),a,b,ab,c,ac,bc,abc,d,ad,bd,abd,cd,acd,bcd,abcd$$

按字母順序排列，但新出現(xiàn)一個(gè)effect之后，要把它和以前的effect的組合也要寫(xiě)上去。

這張表給出了分析$2^k$析因設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果的一般性步驟。首先計(jì)算treatment effect，然后用初始模型（full model，包含所有的effects和interactions）做一下統(tǒng)計(jì)分析，根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析的結(jié)果，我們可以將不重要的factor或者interaction刪去，從而優(yōu)化統(tǒng)計(jì)模型，最后對(duì)優(yōu)化后的模型進(jìn)行分析，為后續(xù)試驗(yàn)提供指導(dǎo)。

因子效應(yīng)的計(jì)算

在上面介紹的因子效應(yīng)的表示方法使得每一個(gè)因子效應(yīng)都可以表示成一個(gè)contract，以上面介紹的$2^4$設(shè)計(jì)為例，因子效應(yīng)的一般表示為
$$(a\pm 1)(b\pm 1)(c\pm 1)(d\pm 1)$$

比如要計(jì)算因子$A$的效應(yīng)就可以用
$$Contrac{t}_A=(a?1)(b+1)(c+1)(d+1)$$

比如因子$AC$的交叉效應(yīng)可以表示為
$$Contrac{t}_{AC}=(a?1)(b+1)(c?1)(d+1)$$

展開(kāi)后各項(xiàng)就是treatment effect，這種操作能夠?qū)⒁蜃有?yīng)用treatment effect表示出來(lái)（treatment effect是比較具體的，factor level combinations的effect）。根據(jù)Contract的性質(zhì)可以把因子的平方和也計(jì)算出來(lái)，
$$S{S}_{AC}=\frac{1}{n{2}^4}Contrac{t}_{AC}^2$$

其中$n$是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)。這種計(jì)算表示方法可以推廣至任意多個(gè)factor。

ANOVA table

下面是$2^k$析因設(shè)計(jì)的ANOVA table，有$n$次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，$k$個(gè)factor的兩個(gè)level共有$2^k$中組合方式，因此總的試驗(yàn)單位有$n{2}^k$。每種contract占一個(gè)自由度，因此所有的contract一種占$2^k$個(gè)自由度（就是上面contract的展開(kāi)式的個(gè)數(shù)），所以殘差的自由度為$2^k(n?1)$。當(dāng)只有一次重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，殘差沒(méi)有自由度，這時(shí)不能做ANOVA F檢驗(yàn)；當(dāng)有兩個(gè)及兩個(gè)以上自由度時(shí)，這時(shí)分析方法就是常規(guī)的ANOVA。

Single-replicate $2^k$析因設(shè)計(jì)

畢竟$2^k$析因設(shè)計(jì)只是一個(gè)預(yù)實(shí)驗(yàn)步驟，所以試驗(yàn)資源能省則省，很多時(shí)候就只能做一個(gè)重復(fù)試驗(yàn)，上面分析到只有一次重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，ANOVA是沒(méi)辦法用的，那我們又應(yīng)該用什么工具來(lái)分析試驗(yàn)結(jié)果呢？Daniel (1959)提出，我們可以用normal probability plot方法。根據(jù)上面已經(jīng)介紹的方法，我們可以計(jì)算出因子效應(yīng)的估計(jì)以及平方和。下圖是一個(gè)示例，第三行的percent contribution指的是因子的平方和相對(duì)總平方和的比值，其實(shí)從這個(gè)圖中我們已經(jīng)可以看出點(diǎn)名堂了，顯然因子B的contribution是非常小的，連帶著包含B的交互效應(yīng)也是比較小的。

下面我們假設(shè)因子的效應(yīng)（第一列）是正態(tài)（或者至少是位置-尺度參數(shù)族）的，記其分布函數(shù)為$F$，將其從上到下記為$e_1.?,e_{15}$，將其按從小到大的順序排序，記順序統(tǒng)計(jì)量為$e_{(1)},?,e_{(15)}$，它們對(duì)應(yīng)理論概率估計(jì)值為（參考UA MATH571A 一元線性回歸IV 模型診斷介紹的正態(tài)概率估計(jì)值）
$${\hat{p}}_i=F\left(\frac{e_i?\mu }{\sigma }\right)=\frac{i+0.375}{15+0.25},i=1,?,15$$

作出$(e_{(i)},{\hat{p}}_i)$的圖像，這個(gè)就叫正態(tài)概率圖（normal probability plot），這個(gè)例子的正態(tài)概率圖如下圖所示

比較集中的那些因子效應(yīng)說(shuō)明都是不顯著的，我們可以把他們排除掉。位置比較偏的這幾個(gè)效應(yīng)是顯著的，我們要保留下來(lái)，因此因子A，C，D，AC，AD被保留，我們優(yōu)化后的模型就是只包含這幾個(gè)效應(yīng)的模型。利用原來(lái)的數(shù)據(jù)集對(duì)這個(gè)新的模型進(jìn)行分析。因?yàn)橐蜃覤的影響非常小，所以它是high level還是low level沒(méi)有顯著區(qū)別，我們就可以把在因子B high level和low level下分別進(jìn)行的兩次試驗(yàn)看成是兩次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，這樣$n$就等于2了，我們真正分析的試驗(yàn)變成了$2^3$試驗(yàn)。這時(shí)稱多出來(lái)的這個(gè)replicate叫做hidden replicate。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH571B 试验设计 2k析因设计理论上的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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