Lewis F L, Zhang H, Hengster-Movric K, et al. Cooperative control of multi-agent systems: optimal and adaptive design approaches[M]. Springer Science & Business Media, 2013.

文章目錄

• • 2.7 Second-Order Consensus
  • • 2.7.1 Analysis of Second-Order Consensus Using Position/Velocity Local Node States
    • • 引理2.1 協(xié)同控制的穩(wěn)定性條件
• Ref

2.7 Second-Order Consensus

一致性在協(xié)同控制中一個應(yīng)用就是車輛的編隊控制。因此，我們現(xiàn)在希望研究滿足牛頓定律 $\ddot{x_i}=u_i$ 的耦合系統(tǒng)，其滿足二階系統(tǒng)節(jié)點動力學

$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_i& =v_i\\ {\dot{v}}_i& =u_i\end{array}\text{\hspace{1em}(2.81)}$$

其中位置 $x_i\in \mathbb{R}$，速度 $v_i\in \mathbb{R}$，加速度輸入 $u_i\in \mathbb{R}$。考慮二階局部鄰域協(xié)議在每個節(jié)點上給出的分布式位置/速度反饋

$$\begin{array}{rl}{u}_i& =c\sum _{j\in N_i}{a}_{ij}{x}_j?x_i+c\gamma \sum _{j\in N_i}{a}_{ij}(v_j?v_i)\\ & =\sum _{j\in N_i}c{a}_{ij}((x_j?x_i)+\gamma (v_j?v_i))\end{array}\text{\hspace{1em}(2.82)}$$

其中 $c>0$ 是一個剛性增益，$c\gamma >0$ 是一個阻尼增益。這是基于位置和速度的本地投票協(xié)議，因此，每個節(jié)點尋找匹配所有鄰居的位置和速度。這是一種比例-導數(shù)控制的變體。

我們希望確定該協(xié)議何時提供一致，并找到位置和速度的一致值。我們用兩種方法分析這個協(xié)議。

2.7.1 Analysis of Second-Order Consensus Using Position/Velocity Local Node States

分析二階一致性的第一種方法參考 [1]。定義位置/速度本地節(jié)點狀態(tài)為 $z_i=[\begin{array}{cc}{x}_i& v_i\end{array}]$ 寫出位置/速度節(jié)點動力學

$$\begin{array}{rl}{z}_i& =\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]z_i+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]u_i\\ & =A{z}_i+B{u}_i\end{array}\text{\hspace{1em}(2.83)}$$

定義本地分布式控制協(xié)議
$$\begin{array}{rl}{u}_i& =c\left[\begin{array}{cc}1& \gamma \end{array}\right]\sum _{j\in N_i}{a}_{ij}\left[\begin{array}{c}{x}_j?x_i\\ v_j?v_i\end{array}\right]\\ & =cK\sum _{j\in N_i}{a}_{ij}(z_j?z_i)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.84)}$$

其中反饋增益矩陣 $K=\left[\begin{array}{cc}1& \gamma \end{array}\right]$。這是每個節(jié)點的狀態(tài)變量反饋。

引理2.1 協(xié)同控制的穩(wěn)定性條件

令 ${\lambda }_i,i=1,?,N$ 為圖拉普拉斯矩陣 $L$ 的特征值。那么動力學（2.74）/（2.75）的穩(wěn)定性特性等同于 $N$ 個系統(tǒng)
$$A?c{\lambda }_{i}BK,i=1,?,N$$
的穩(wěn)定性特性，因為它們有相同的特征值。
證明：定義一個轉(zhuǎn)換矩陣 $M$ 滿足 $J=M^{?1}LM$，$J$ 是一個以特征值 ${\lambda }_i,i=1,,?,N$ 為對角元素的上三角矩陣。應(yīng)用狀態(tài)空間轉(zhuǎn)化
$$\begin{array}{rl}& (M^{?1}?I)[(I_N?A)?cL?BK](M?I)\\ & =[(I_N?A)?cJ?BK]\end{array}\text{\hspace{1em}(2.78)}$$
并且定義新狀態(tài) $\xi =(M^{?1}?I)\delta$。那么轉(zhuǎn)換后的系統(tǒng)是塊三角形式，并且對角塊有如下形式
$${\dot{\xi }}_i=(A?c{\lambda }_{i}BK){\xi }_i\text{\hspace{1em}(2.79)}$$
因此，（2.74）/（2.75）的穩(wěn)定性等價于所有這些系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因為狀態(tài)空間轉(zhuǎn)換不會改變特征值。

現(xiàn)在結(jié)合（2.74）來驗證，定義 $z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_1^{\text{T}}& z_2^{\text{T}}& ?& z_N^{\text{T}}\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{2N}$，寫出全局閉環(huán)動力學（2.75）為

$$\begin{array}{rl}\dot{z}& =[(I_N?A)?cL?BK]z\\ & =A_{c}z\end{array}\text{\hspace{1em}(2.85)}$$

其中特定的 $A,B,K$ 已給出。

假設(shè)圖有一個生成樹。那么 $L$ 有一個簡單特征值 ${\lambda }_1=0$，并且秩為 $N?1$，并且剩下的特征值都嚴格在 $s$ 平面的右半部分。基于這些情況，我們想要探究協(xié)議（2.82）的一致性特征。首先，我們需要探究系統(tǒng)（2.85）的穩(wěn)定性，之后找出位置和速度的一致值。

為了驗證協(xié)議的穩(wěn)定性，根據(jù)引理 2.1 的證明，在（2.85）中的 $A_c$ 等價于
$$\text{diag}\{A,(A?c{\lambda }_{2}BK),?,(A?c{\lambda }_{N}BK)\}\text{\hspace{1em}(2.86)}$$

與 $\text{Re}\{{\lambda }_i\}>0,i=2,?,N$。矩陣 $A$ 有兩個特征值 ${\mu }_1=0$

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Ref

[1] Xie G, Wang L (2007) Consensus control for a class of networks of dynamic agents. Int J Robust Nonlinear Control 17(10–11):941–959.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【Paper】2013_Cooperative control of multi-agent systems 二阶动态一致性的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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