文章目錄

• 3. Control Protocol and Network Dynamics
• 4. Network with Fixed Topology
• • • • 定理 1
      • Remark 1
      • Lemma 2
      • 證明 Lemma 2
      • 證明 定理 1

3. Control Protocol and Network Dynamics

在本節中，我們將介紹解決上述平均一致性問題的控制協議。我們將使用固定拓撲和無通信時延的線性協議:

$$u_i=u_{i1}+u_{i2}\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中
$$u_{i1}=k{v}_i\text{\hspace{1em}(6)}$$

是有著反饋增益 $k$ 的本地速度反饋，反饋增益之后會來設計，并且

$$u_{i2}=\sum _{j\in N_i}{a}_{ij}(x_j?x_i)\text{\hspace{1em}(7)}$$

是節點 $v_i$ 的鄰居對應的部分，在拓撲固定的網絡中是恒定的，在拓撲切換的網絡中是可變的。

通過使用協議（5），智能體動力學可寫成如下形式：

$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_i& =v_i\\ m{\dot{v}}_i& =k{v}_i+\sum _{j\in N_i}{a}_{ij}(x_j?x_i)\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

定義
$${\xi }_i=[x_i,v_i{]}^{\text{T}}$$

我們有
$${\dot{\xi }}_i=A{\xi }_i+BK{\xi }_i+BF\sum _{j\in N_i}{a}_{ij}({\xi }_j?{\xi }_i)\text{\hspace{1em}(9)}$$

其中 $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$，$K=\left[\begin{array}{cc}0& k\end{array}\right]$，$F=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$。

進一步，定義
$$\xi =?\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ?\\ {\xi }_M\end{array}?$$

動力學模型描述為
$${\Phi }_{G(t)}=I_M?(A+BK)?L_{G(t)}?BF\text{\hspace{1em}(10)}$$

其中 $L_{G(t)}$ 是之前提到的關于 $t$ 時刻圖 $G(t)$ 的拉普拉斯矩陣。

如果針對任意時間 $t$ 都有圖 $G(t)\equiv G$，網絡的動力學是一個線性時不變系統。否則的話，網絡的動力學通常混合了連續狀態 $\xi \in {\mathbb{R}}^{2M}$ 和離散狀態 $G$。結構就是，網絡成為一個典型的線性時間切換系統。

4. Network with Fixed Topology

本節，我們提供了具有固定拓撲網絡的平均一致性的分析。

定理 1

考慮一個固定拓撲網絡 $G$ 是連通圖，假設所有初始速度都是 $0$，即 $v_i(0)=0$，那么針對任意的負增益 $k<0$，協議（5）全局漸進解決了平均一致性問題。

Remark 1

一個關于定理 1 更加通用的形式已經在文獻 Tanner HG, Jadbabaie A, Pappas GJ. Stable ?ocking of mobile agents, part I: ?xed topology. Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control, Hyatt Regency Maui, HI, U.S.A., vol. 2. 2003; 2010–2015. 中用一個不同的方式進行了證明。

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在給出定理 1 的證明前，我們首先考慮 ${\lim }_{t\to \infty }\exp (\Phi t)$ 的解。

Lemma 2

假設圖 $G$ 是連通的，那么對于任意 $k<0$，
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\exp (\Phi t)=w_r{w}_l^{\text{T}}\text{\hspace{1em}(11)}$$

其中 $w_l,w_r$ 分別是 $\Phi$ 關于 $0$ 特征值的左特征向量和右特征向量。進一步地，
$$w_r=\frac{1}{\sqrt{M}}{\text{1}}_M?[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}}\text{\hspace{1em}(12)}$$

$$w_l=\frac{1}{?k\sqrt{M}}{\text{1}}_M?[\begin{array}{cc}?k& 1\end{array}{]}^{\text{T}}\text{\hspace{1em}(13)}$$

并且 $w_r^{\text{T}}{w}_l=1$。

證明 Lemma 2

首先，我們有
$$\begin{array}{rl}\Phi \frac{1}{\sqrt{M}}{\text{1}}_M?[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}}& =\frac{1}{\sqrt{M}}(I_M?(A+BK)?L?BF){\text{1}}_M?[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{M}}(I_M{\text{1}}_M)?((A+BK)[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}})?\frac{1}{\sqrt{M}}(L{\text{1}}_M)?(BF[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}})\\ & =\frac{1}{\sqrt{M}}{\text{1}}_M?{\text{0}}_2?\frac{1}{\sqrt{M}}{\text{0}}_M?[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}}\\ & ={\text{0}}_{2M}\end{array}$$

這意味著 $w_r=1/\sqrt{M}{\text{1}}_M?[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}}$。

接下來

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現在我們給出定理 1 的證明。

證明 定理 1

根據引理 2，我們有
$$\xi (t)=\exp (\Phi t)\xi (0)$$

由此可見
$$\begin{array}{rl}\underset{t\to \infty }{\lim }\xi (t)& =\underset{t\to \infty }{\lim }\exp (\Phi t)\xi (0)\\ & =w_r{w}_l^{\text{T}}\xi (0)\\ & =(w_l^{\text{T}}\xi (0))w_r\\ & =\frac{1}{\sqrt{M}}(w_l^{\text{T}}\xi (0)){\text{1}}_M?[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}}\end{array}$$

由于
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{\sqrt{M}}(w_l^{\text{T}}\xi (0))& =\frac{1}{M}({\text{1}}_M^{\text{T}}?[\begin{array}{cc}1& ?\frac{1}{k}\end{array}])[\begin{array}{ccccc}{x}_1(0)& v_1(0)& ?& x_M(0)& v_M(0)\end{array}]\\ & =\frac{1}{M}\sum _{i=1}^M(x_i(0)?\frac{v_i(0)}{k})\\ & =\text{Ave}(x_0)\end{array}$$

并且能夠知道的是
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{v}_i(t)=0,i=1,2,?,M$$

這表明協議（5）全局漸進解決了平均一致性問題。完成了證明。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【Paper】2007_Consensus control for a class of networks of dynamic agents 二阶静态一致性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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