第一節??向量的內積

一．數學概念

1.?內積：設有n維向量

??????????

令????????_?，

則稱[x,y]為向量x與y的內積。

2.?范數：稱_??為向量x的范數(或長度)。

3.?單位向量：稱_??時的向量x為單位向量。

4.?當_??，_??時，稱

????????????

為向量x與y的夾角。

5.?正交向量組：指一組兩兩正交的單位向量。

6.?標準正交基：設n維向量_??是向量空間V的一個基，如果_??兩兩正交，且都是單位向量，則稱_?是V的一個標準正交基。

7.?正交矩陣：如果n階方陣A滿足

??????????????_?????????_?

那末稱A為正交矩陣。

8.?正交變換：若P為正交矩陣，則線性變換x=Py稱為正交變換。

二．原理，公式和法則

1 .內積的結果是一個數(或是一個多項式)，且滿足如下性質(其中x,y,z為n維向量，_??為實數)：

??(i)_??；

??(ii)_??；

??(iii)_?

2 .向量的范數是一個數，且滿足如下性質：

(i)?非負性??當x?≠ 0時,_??；當x?= 0時,_??。

(ii)?齊次性??_??；

(iii)?三角不等式??_?。

3.?_?是單位向量。

4.?正交向量組是線性無關的。

5.?施密特標準正交化

設_??線性無關，

取_??,??????????????????????????????令_?

_??????????????????????

_????????????_?

……………………………………………………

_?????

三?.重點、難點分析

本節主要講述一些預備知識，其重點是向量的內積，范數，標準正交基，正交矩陣及正交變換，會夠造正交矩陣，易得正交變換，正交變換是在下面的學習中經常要用到的，難點是施密特標準正交化。

四?.典型例題

例1?.已知向量_??，求一組非零向量a₁,a₂，使a₁與a₂,a₃正交，并把a₁,a₂,a₃化成R³的一個標準正交基。

解：設所求的向量x,是[a₃,x] = 0，即

_?，

它的基礎解系為

_?，

令

_?，把它們標準正交化，

_?，????????????????????????

_?，

_?，_??,

顯然_??是兩兩正交的單位向量，故_??是_??的一個標準正交基。

???

解本題關鍵在與所求向量與已知向量正交，由它們的內積等于零，得出齊次線性方程組，其基礎解系即為所求的向量，然后再把已知的3個向量施密特標準化。

第二節??方陣的特征值與特征向量

?一?.數學概念

1?.特征值與特征向量：

設A為n階方陣，若數_??和n維的非零列向量x，使關系式Ax=λx成立，則稱數λ為方陣A的特征值，非零向量x稱為A的對應與特征值_??的特征向量。

2 .特征多項式

3 .特征方程

?二?.原理，公式和法則

1 .求特征值與特征向量的方法：

(1)?_????????????????????????????(實用于抽象矩陣)；

(2)?_?????????????????????????(實用于具體矩陣)；

(3)?_???????????????????????(主要用于求特征向量)。

2 .主要公式

設_??是A的特征值，x是A的對應于特征值_??所對應的特征向量，則有

_?????

注：_??特征值與特征向量指A可逆時。

3 .特征值與特征向量的性質

設_??是A的n個特征值，則有

1)?

2)?

3)?A可逆的充分必要條件是A沒有零特征值。

4)?A不可逆的充分必要條件是A有零特征值。

5)?方陣A不同的特征值對應的特征值是線性無關的。

?三?.重點、難點分析

本節的重點是理解特征值也特征向量的概念，求A的特征值與特征向量，掌握求特征值與特征向量的各種方法。難點是方陣A不同的特征值所對應的特征向量線性無關的證明；求方陣A特征值與特征向量的各種方法。

?四?.典型例題

例1?.求方陣???

的特征值和特征向量。

解：?A的特征多項式為

???????_?，

所以A的特征值為_??。

當_??時，解方程?(A-2E)x=0。由

??????_?，

得基礎解系?

_?，

所以_??是對應于_??的全部特征向量。

當_??，解方程(A-E)x=0。由

得基礎解系

_?，

所以_??是對應于_??的全部特征向量。

例2?.求矩陣

????????????

的特征值和特征向量。

解?

所以A的特征值為_??。

當_??時，解方程(A+E)x=0。由

_???????_?，

得基礎解系

???_?，

所以_??是對應于_??的全部特征向量。?

當_??時，解方程(A-2E)x=0。由

_???????_?，

得基礎解系?

??_?，

所以對應于_??的全部特征向量為

_????????????_?。

?

以上例1、例2都有二重特征值，而例1中的二重特征值對應兩個線性相關的特征向量，例2中二重特征值對應兩個線性無的特征向量，這對于下面將要學習的方陣對角化是分重要的，希望引起同學們的注意。

?

例3?.設3階方陣A滿足_??，且矩陣A的秩為2，求A的特征值。

解：設_??是A的特征值，x是A的關于_??所對應的特征向量，則有_??，在_??是兩端右乘x，得

????_?

即??

即??

由于_??，所以

得???

又A的秩為2，得A的特征值為_?

例3是一個抽象矩陣求特征值的問題，由所給的已知條件求出_??，再根據約束條件(例A的秩等于2)確定A的特征值。

第三節?相似矩陣

一.?數學概念

1 .?相似矩陣：

設A、B都是n階方陣，若存在可逆矩陣P，使_??，

則稱B是A的相似矩陣，記之A~B。

2 .?相似變換

對A進行_??運算稱為對A進行相似變換矩陣。

二.?原理，公式和法則

1 .?相似矩陣有相同的特征多項式，從而有相同的特征值。

2 .若A相似于對角矩陣L，則L主對線上元素是A的n個特征值。

3 .n階方陣A能與對角矩陣L相似的充分必要條件是：A有n個線性無關的特征向量。

4 .若n階方陣A的n個特征值各不相同，則A與對角陣L相似。

5 .實對稱矩陣的特征值為實數。

6 .實對稱矩陣不同的特征值所對應的特征向量是線性無關的。

7 .設_??是實對稱矩陣A的k重特征值，則矩陣_??的秩_??，從而對應k重特征值_??恰有k個線性無關的特征向量。

8 .設A為n階實對稱矩陣，則必有正交矩陣P，使_??，其中L是以A的n個特征值為對角元素的對角矩陣。

三?.重點、難點分析

本節的重點是一般方陣能對角化的條件，實對稱陣用正交變換化成對角矩陣，將一個對稱陣化成對角矩陣為把二次型化成標準形打基礎。難點是上面理論的證明和推導，以及如何用正交變換矩陣將對稱陣化成對角矩陣。此類題解法具有很強的規律性，但步驟較多，作起來比較復雜，同學們學習起來還是較困難的。

四.?典型例題

例1?.設矩陣

_?，

且A相似于B，求_??的值。

解：由于A相似于B，則

即_?

再??_?，

_?　　　　　　　　　　　

得???_?，????從而_?

此類問題的求解可用方程①A的跡等于特征值的和：②|A|等于特征值的積。若以上兩個方程相同，可以由_?，將對角矩陣B的主對角線上元素(即A的特征值)代入即得。

例2?.設矩陣

問當k等于何值時，存在可逆矩陣P，使得_??？并求出P和相應的對角矩陣。

解：由

得_??。

當_??時

顯然當k?= 0時,_??，對應的特征向量為

_?，

當_??時，

_?，

對應的特征向量為

_?。

因此當k=0時，零

_?????

則

_?。

解此類問題關鍵分析A應有二重特征值，并且二重特征值需對應兩個線性無關的特征向量，從而_??。確定k,這是十分關鍵的一步。

例3?.設矩陣

求正交矩陣P和L，使_??。

解：由

得A的特征值為_??。

當_??時，代入方程組_??，即

_?，

解得_??時一個特征向量為

_?；

當_??時，代入方程組_??，即

_?，

解得_??時對應的特征向量為

顯然_??與_??正交，但_??是線性無關的，可以用施密特標準正交把_??化成兩兩正交的單位向量，這樣較麻煩，若_??得_??，顯然它們正交，并且是上面線性方程組的解，故只須單位化

_?，

令_??，則P為正交矩陣，且

_?。

from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数：第五章 相似矩阵及二次型（1）向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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