线性代数：第四章 向量组的线性相关性（2）向量空间 线性方程组解的结构
第三節(jié)?向量空間
一．數(shù)字概念
定義3.1??設(shè)V是n維向量集合，且非空，若
(i)??則,??；
(ii)??則??。
則稱V是一個向量空間。
定義3.2??設(shè)??是兩個向量空間，若??，則稱??的子空間。
定義3.3??設(shè)V為向量空間，如果r個向量??，且滿足
(?i?)??線性無關(guān)；
(ii)?V中的任一向量都可由??線性表示，則稱向量組??是向量空間V的一個基，r稱為向量空間V是維數(shù)，并稱V為r維向量空間。
二．原理，公式和法則
等價的向量組所生成的向量空間相等。
把向量空間看作向量組，向量空間的基就是向量組的極大無關(guān)組，向量空間的維數(shù)就是向量組的秩。
三．重點，難點分析
本節(jié)的重點是向量空間的概念和向量空間的基，并把空間中的向量用這個基線性表示；難點是深刻理解向量空間和向量空間基這個抽象的概念，驗證一組向量是向量空間的基，并把空間中的幾個向量用這個基線性表示的解決方法，在此基礎(chǔ)上正確理解向量組等價的概念，兩個非齊次線性方程組同解的問題。
四．典型例題
例?驗證向量組?
?
?
用這個基線性表示，并判斷??能否是??的另一個基。
解：設(shè)??，要證??的一個基，只須證明A~E即可。對??施行初等行變換，若A能變成E，則??的一個基，且當(dāng)A變成E時，??變成??，由于
?????
顯然A~E，故??的一個基，
且?
又??，且與??等價，故??也是??的一個基。
該題也可以先驗證??或R(A)=3。確定??是線性無關(guān)，由于4個維向量必線性相關(guān)。故??的一個基。若??由??線性表示，可以解以??為方程組的系數(shù)矩陣，??分別為常數(shù)項的3個線性方程組。
第四節(jié)?線性方程組解的結(jié)構(gòu)
一．數(shù)學(xué)概念
1.?齊次線性方程組
Ax=0
2.?非齊次線性方程組
??Ax=b???（b?≠?0）
3.?齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系
?是Ax=0的解，滿足
(i)??線性無關(guān)；
(ii)?Ax=0的任何一解都可由??線性表示。
4.?齊次線性方程組Ax=0的通解
??????????
5.?非齊次線性方程組Ax=b的通解
????
二．原理，公式和法則
1.?n個未知數(shù)的齊次方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是R(A)<n。
2.?n個未知數(shù)的非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要提哦案件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣B的秩。且當(dāng)R(A)=R(B)=n時，方程組有唯一解，當(dāng)R(A)=R(B)=r<n時方程組有無窮多個解。
3.?若??，??為Ax=0的解，則??也是Ax=0的解。
4.?若??是Ax=0的解，??，則??的解。
5.?若??，??是Ax=b的兩個解，則??是Ax=0的解。
6.?若??是Ax=0的解，??是Ax=b的解，則??是Ax=b的解。
7.?n元齊次線性方程組??的全體解所構(gòu)成的集合S的一個向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R(A)=r時，解空間是n-r維的。
三．重點，難點分析
本節(jié)的重點是討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)；齊次線性方程組Ax=0解與其對應(yīng)的非齊次線性方程組Ax=b的解之間的關(guān)系；如何求齊次線性方程組和非齊次線性方程組的通解；真正理解向量組的線性相關(guān)性與其所對應(yīng)的齊次線性方程組有什么樣解的關(guān)系；一個向量是否能由一組向量線性表示與其對應(yīng)的非齊次線性方程組是否有解的關(guān)系。難點是如何理解這些關(guān)系，和正確解出齊次線性方程組和非齊次線性方程組的通解。
四．典型例題
例1.設(shè)線性方程組
??
求出方程組的通解；
寫出非齊次線性方程組所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系；
寫出非齊次線性方程組的一個特解。
解：對方程組的增廣矩陣B施行初等行變換得???????
顯然R(A)=R(B)=2<4，所以原方程組有無窮多解，且等價與下面方程組
解得
??
故方程組的通解為
???????為任意常數(shù)
該方程組所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為
該方程組的一個特解為
???
解此類題的方法是先對方程組的增廣矩陣施行初等變換，使之變成最簡型矩陣中首非零元1為系數(shù)的未知數(shù)留在等號的左邊作為非自由的未知量(其個數(shù)等于R(A)，其余的未知量移到等號右邊作為自由未知量，其個數(shù)等于方程組所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù))。根據(jù)通解的結(jié)構(gòu)，得出方程組的通解。
例2．設(shè)向量組
????
試問(1)當(dāng)??為何值時，β能由??線性表示，且表示法唯一？
(2)當(dāng)??為何值時，β不能由??線性表示？
(3)當(dāng)??為何值時，β能由??線性表示，且表示法不唯一，并寫出表示試。
解：設(shè)??，使
???
由于????????????????????????????????
??
①當(dāng)??時，β能由??線性表示，且表示法唯一。
②當(dāng)??時
顯然R(A)=2，R(B)=3，方程組無解，即B不能由??線性表示。
③當(dāng)??時???????????????????????????????????
??
??????
顯然R(A)=?R(B)=1<3，方程組有無窮多解。
????
即
??????
?為任意常數(shù)
故β能由??線性表示，且
???????????????為任意常數(shù)
此類問題將線性表示問題轉(zhuǎn)化非齊次線性方程組求解問題，按有唯一解、無解和有無窮多解說明β能由?唯一的線性表示，不能表示，有無窮多組表示法等。
from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的线性代数：第四章 向量组的线性相关性（2）向量空间 线性方程组解的结构的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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