§12.4??一階線性非齊次微分方程

一、線性方程

方程

????????????????????????????????????

叫做一階線性微分方程(因為它對于未知函數及其導數均為一次的)。

如果?，則方程稱為齊次的；

如果??不恒等于零，則方程稱為非齊次的。

首先，我們討論?式所對應的齊次方程

????????????????????????????????????????

的通解問題。

分離變量得??

兩邊積分得??

或?????????

其次，我們使用所謂的常數變易法來求非齊次線性方程?的通解。

將?的通解中的常數換成的未知函數，即作變換

兩邊乘以得??

兩邊求導得??

代入方程?得

?，?

于是得到非齊次線性方程?的通解

將它寫成兩項之和

不難發現：

第一項是對應的齊次線性方程?的通解；

第二項是非齊次線性方程?的一個特解。

由此得到一階線性非齊次方程的通解之結構。

【例1】求方程

的通解。

解：

由此例的求解可知，若能確定一個方程為一階線性非齊次方程，求解它只需套用公式。

二、貝努利方程

方程

叫做貝努利方程。

當時，它是一階線性非齊次微分方程

?

當時，它是一階線性齊次微分方程

當時，它是一階非線性的微分方程，通過變量代換可化歸為一階線性微分方程。

具體解法如下：

令??，方程化為關于的一階線性非齊次微分方程

【例2】求貝努利????的通解。

解 ：?，

?

?

?

§12.5??全微分方程

一、定義

一階微分方程寫成

?????????????????????????????

形式后，如果它的左端恰好是某一函數的全微分，即

????????

則方程?就叫做全微分方程。

二、全微分方程的求解

設方程?是一個全微分方程，則存在二元函數，使得

則??

方程?可寫成???????????????????????????????????????

如果是?的解，那么這個解也滿足方程?，故

因此??

這表明，?的解是由方程所確定的隱函數。

反過來，若方程確定了一個可微分的隱函數，

則????

兩端對求導得

或??

即??

這表明，由方程所確定的隱函數是方程?的解。

綜合上述兩點， 我們有結論

全微分方程?的解是由所確定的隱函數，而由所確定的隱函數一定是方程?的解。

因此，若方程?的左端是函數的全微分，那么它的通解為

其中是任意常數。

三、方程?是全微分方程的條件

若，在單連通域內具有一階連續偏導數，則方程?成為全微分方程的充要條件為

??????????????????????????????????????????????

在內恒成立。

四、全微分函數的求法

當條件?滿足時，全微分函數可以通過對坐標的曲線積分獲得

或

【例1】求解?

解：這里

所以這是全微分方程，有

于是，方程的通解為

五、積分因子

當條件不能滿足時，方程?

就不是全微分方程。

如果找得到一個函數，使方程

成為全微分方程，則稱函數稱為方程?的積分因子。

例如方程?，有

故該方程不是全微分方程。

但方程兩端乘上因子以后，方程??

變成為全微分方程。事實上

因此，是上述方程的一個積分因子。

一般說來，積分因子的確定并不簡單，而且積分因子往往不唯一的。不難驗證和也是上述方程的積分因子。

如果對函數的微分運算十分熟練，往往可以通過觀察得到積分因子。

【例2】用觀察法求下列方程的積分因子， 并求其通解

1、

2、

解1：是一個積分因子，乘上該因子之后，方程成為

?，?

故通解為??

解2：是一個積分因子

故通解為??

§12.7??可降階的高階微分方程

前面，我們主要討論了一階微分方程的求解問題，對于二階及二階以上的微分方程(即高階微分方程)，原則上講，可以通過適當的變量替換化成低階的方程來求解。自然地，選擇適合的變量替換往往是一件困難的事情。

下面，我們僅究三類較簡單的高階方程的求解展開討論。

一、型的微分方程

微分方程

的右端僅含有自變量，只要把作為新的未知函數，那么就是新未知函數的一階微分方程，兩邊積分，就得到一個??階的微分方程

同理??

依此類推，連續積分次，便得到了方程的含有個任意常數的通解。

【例1】求??的通解。

解：

其中?是任意常數。

二、型的微分方程

微分方程

的右端不顯含有未知函數。

如果作變量替換?，則?

方程可化為

這是一個關于變量的一階微分方程，設其通解為

由，又得以一個一階微分方程

因此，方程的通解為

其中是任意常數。

【例2】求微分方程

滿足初始條件

的特解。

解：設，將之代入方程，得

分離變量有

兩邊積分，得

由條件，得

從而??

再積分，得?

又由條件，得?

故所求特解為??

注記：

求高階方程滿足初始條件的特解時，對任意常數應盡可能及時定出來，而不要待求出通解之后再逐一確定，這樣處理會使運算大大簡化。

三、型微分方程

微分方程

的右端不顯含自變量。

作變量替換，利用復合函數求導法則，可將寫成如下形式

方程可化成?

這是一個關于變量的一階微分方程，設求出它的通解為

從而有??

分離變量?，

再積分?，便可得到方程的通解。

【例3】求??的通解。

解：設??，則?

?

分離變量，得??

兩邊積分??

有??，

分離變量，再積分，得

其中是任意常數。

【例4】一個離地面很高的物體，受地球引力的作用由靜止開始落向地面，求它落到地面時的速度和所需時間(?不計空氣阻力?)。

解：取連結地球中心與該物體的直線為軸，其方向鉛直向上，取地球中心在原點。設物體的質量為，物體下落時與地球中心的距離為，地球半徑為，在時刻物體所在位置為。

于是，速度，據萬有引力定律，有以下微分方程??

其中：為地球質量，為引力常數，因

，且當時，(這里置負號是由于物體運動加速度的方向與軸的正向相反)，故

?，?

于是方程可寫成??

初始條件是??，?

先求物體到達地面的速度，由?，則

代入原方程，得?

分離變量，得?

再求積分，得?

將初始條件，代入得

于是??

在式中令， 得到物體到達地面時的速度為

這里取負號是由于物體運動方向與軸的正向相反。

下面再求物體落到地面所需時間?

分離變量，得

兩端積分，得

由條件?，得?

于是上式成為

在上式中令，便得到物體到達地面所需的時間為

_{from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第十二章 微分方程（2）一阶线性非齐次微分方程、全微分方程、可降阶的微分方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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