第三節?行列式按行(列)展開

一．數學概念

余子式和代數余子式

在n階行列式中，把元素_??所在第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素_??的余子式，記作_??，記

_?,

_?叫做元素_??的代數余子式。

二．原理，公式

引理??一個n階行列式，如果其中第i行所有元素除_??外都為零，那么這行列式等于_??與它的代數余子式的乘積。

定理3.1??行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數余子式乘積之和。即

??????????????????

或?????????????????????

推論??行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即

_??????????????????

范德蒙德(Vandermonde)行列式

三．重點，難點分析

本節重點是行列式按行(列)展開的引理、定理、推論。靈活準確的應用行列式的性質和展開定理及其引理是快速、準確計算行列式的關鍵。而行列式展開定理的推論不僅告訴我們計算行列式時必須用某一行(列)的元素分別乘以該行(列)對應元素的代數余子式乘積之和時才是該行列式的值。否則乘以其它行(列)對應的元素的代數余子式的乘積之和則為零，而且該推論和展開定理并用可以計算行列式中的參數。

Vandermonde行列式雖然給出了一個計算公式，但是對于某些特殊的行列式怎么變成Vandermonde行列式的形式確是比較困難，當然用Vandermonde行列式能夠計算一些難度較大的行列式的計算。

四．典型例題分析

例2．設4階行列式的第2列元素依次為2，m,k,3，第2列元素的余子式依次為1,-1,1,-1,第4行元素的代數余子式依次為3,1,4,2,且行列式值為1，求m,k。

解：這是一道用行列式的展開定理和推論并用的計算行列式中的參數m,k的題型。由行列式的展開定理及其推論得

即?????????????????????????

解得_?

例3．計算

解：本題從表面上它不是Vandermonde行列式，但是我們可以用行列式的性質將其變成行列的形式，將D的第1列分別乘_??加到第3列，得

第四節?克拉默法則

一．數學概念

1．非齊次線性方程組

其中右端的常數項_??不能全為零。

2．齊次線性方程組

二．原理，公式和法則

克拉默法則

設非齊次線性方程組

若方程組(1)的系數行列式

則方程組(1)有唯一解

其中_??是把系數行列式D中的第j列的元素用方程組右端的常數項代替后所得到的n階行列式，即

定理4.1??如果線性方程組(1)的系數行列式D≠0，則(1)一定有解，且解是唯一的。

定理4.1’??如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解，則它的系數行列式必為零。

定理4.2??如果齊次線性方程組(2)的系數行列式D≠0，則齊次線性方程組(2)沒有非零解。

定理4.2’??如果齊次線性方程組(2)有非零解，則它的系數行列式必為零。

三．重點，難點分析

我們用行列式的性質和展開定理計算各種形式的行列式，其最終目的是解未知數的個數與方程組的個數相同的線性方程組。我們要重點掌握克拉默法則，會用克拉默法則解線性方程組。在使用中注意定理4.1，4.2及其逆否定理的區別，聯系和應用。

四．典型例題分析

例1．解線性方程組

解：

???????

于是得_?

例2．問_??取何值時，齊次線性方程組

有非零解？

解：由定理4.2’可知，若齊次線性方程組有非零解，則上式的系數行列式D＝0。而

由D=0，得_??=2,?_?=5或_??=8。不難驗證，當_??＝2,5或8時，題給齊次線性方程組確有非零解。

本章小節

行列式的概念是基礎。

行列式的性質是關鍵。

行列式的計算是重點。

用行列式解線性方程組是目的。

?

_{from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数：第一章 行列式（2）行列式按行（列）展开 克拉默法则的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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