高等数学：第十二章 微分方程（1）微分方程的概念，可分离变量的微分方程，齐次方程
§12.1??微分方程的基本概念
凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量之間關(guān)系的方程，稱之為微分方程。微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階。
一般地，階微分方程的形式是
?????????????????????????????????
其中是個(gè)變量的函數(shù)，在方程?式中，是必須出現(xiàn)的，而等變量可以出現(xiàn)，也可以不出現(xiàn)。
在以后的討論中，我們主要討論?式的特殊形式
????????????????????????????????
設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有階導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間上
那未函數(shù)就叫做微分方程?在區(qū)間上的解。
如果微分方程的解含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同(這里的任意常數(shù)應(yīng)相互獨(dú)立，即：它們不能合并而使得任意常數(shù)的個(gè)數(shù)減少)，這樣的解稱之為微分方程的通解。
設(shè)微分方程為，其通解為，其中：為任意常數(shù)。為了確定任意常數(shù)的具體取值，通常給出條件
當(dāng)???時(shí)，
或??????????????????????????????????????????????
這里都是給定的值。
設(shè)二階微分方程為，其通解為，其中：為獨(dú)立的任意常數(shù)。為了確定的值，通常給出條件
當(dāng)??時(shí)，??，?， 即
??????????????????????????????????????????????
這里?都是給定的值。
上面所給出的這種條件?、?叫做初始條件；
確定了通解中的任意常數(shù)之后所得到的解稱作微分方程的特解。
求微分方程滿足初始條件的特解，又稱之為一階微分方程的初值問(wèn)題，記作
???????????????????????????????????????????????
一般地講，微分方程特解的圖形是一條曲線，這一曲線稱之為積分曲線。
初值問(wèn)題?的幾何意義為：求微分方程通過(guò)點(diǎn)的那條積分曲線。
【例1】一曲線過(guò)點(diǎn)，且在該曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率為，求該曲線的方程。
解：設(shè)所求曲線的方程為，則它滿足
把方程兩端積分，得??????(是任意常數(shù)?)
由初始條件，有??????
由此定出????????????
故所求曲線的方程為?
【例2】驗(yàn)證：函數(shù)
(是任意常數(shù))
是微分方程????的通解。
解：??
，
顯然?
故???是微分方程的解。因是相互獨(dú)立的兩個(gè)任意常數(shù)，而微分方程的階數(shù)是二階的，故它微分方程的通解。
§12.2??可分離變量的微分方程
【定義】如果一階微分方程能化成
?????????????????????????????????????????
的形式，那么原方程稱之為可分離變量的微分方程。
為討論這類微分方程的求解，我們先看兩個(gè)引例
對(duì)于一階微分方程
只需將上式兩端積分就得到了這個(gè)方程的通解
但是，并非所有的一階微分方程都能這樣求解。
例如，對(duì)于一階微分方程
?
就不能直接兩端取積分求出它的通解。原因是方程右端含有未知函數(shù)，積分求不出來(lái)。為了解決這個(gè)困難，在方程的兩端同乘以，使方程變?yōu)?????
這樣，變量與被分離在等式的兩端，然后兩端積分得
如此得到的函數(shù)是原來(lái)的微分方程的解嗎?
直接驗(yàn)證：對(duì)方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)，有
可見(jiàn)，它確實(shí)是原方程的通解。
下面討論可分離變量微分方程
???????????????????????????????????????
的求解。
假定函數(shù)和是連續(xù)的。
設(shè)是方程?的解，將它代入方程得到恒等式
將上式兩端積分有
引入變量替換，得
設(shè)及依次為及的原函數(shù)，于是有
???????????????????????????????????????????
因此，方程?的解滿足關(guān)系式?。
反之，如果是?式所確定的隱函數(shù)，那未在的條件下，據(jù)隱函數(shù)的直接求導(dǎo)法有
因此，函數(shù)滿足方程?。
綜合上述討論有
如果可分離變量方程?中的和連續(xù)，且，那么?式兩端積分后得到的關(guān)系式?，它用隱式的形式給出了方程?的解。
由于?式含有任意常數(shù)，故?式叫做微分方程的隱式通解(?當(dāng)時(shí)，?式所確定的隱函數(shù)也可認(rèn)為是方程?的解)。
【例1】設(shè)降落傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)()速度為零，求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。
解：設(shè)傘下落速度為，在下落時(shí)，同時(shí)受到重力與阻力的作用，重力大小為，方向與一致;阻力大小為(為比例系數(shù)?)，方向與相反，從而傘所受外力為
據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律?，得到函數(shù)應(yīng)滿足微分方程
方程是可分離變量的，分離變量得
兩端積分，有
其中???
由初始條件??，有?
于是所求的函數(shù)為
【例2】有高為100厘米的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面面積為1平方厘米，開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水，求水從小孔流出過(guò)程中容器里的水面的高度(水面與孔口中心間的距離?)隨時(shí)間變化的規(guī)律。
解：由水力學(xué)知道，水從孔口流出的流量(?即通過(guò)孔口橫截面的水的體積對(duì)時(shí)間的變化率?)可用下列公式計(jì)算
這里，為流量系數(shù)，為孔口橫截面面積，為重力加速度。
現(xiàn)在，孔口橫截面面積為
另一方面，設(shè)在微小時(shí)間間隔內(nèi)，水面高度由降至，可得到?????
其中是時(shí)刻時(shí)的水面半徑，右端置負(fù)號(hào)是由于，而。
如圖，
得到微分方程??
及初始條件????
方程是可分離變量的方程
將初始條件代入，定出常數(shù)。
把值代入并化簡(jiǎn)，得
【注記】
本例通過(guò)對(duì)微小量的分析，得到了微分方程。這種微小量分析法，是建立微分方程的一種常用方法。
§12.3??齊次方程
如果一階微分方程
中的可寫(xiě)成的函數(shù)，即，稱此方程為齊次方程。
例如??是齊次方程，因?yàn)?/p>
在齊次方程
?
中，引入變量替換
有??，
將它們代入齊次方程，得
分離變量，得
兩邊積分，得
求出積分后，再用代替，便得所給齊次方程的隱式通解。
【例1】解方程
解：?原方程可寫(xiě)成
因此是齊次方程，令?，則
于是原方程變?yōu)?/p>
分離變量， 得
兩邊積分，得
以代替， 得到原方程的通解
注記:
齊次方程的求解實(shí)際上是通過(guò)變量替換，將方程化為可分離變量的方程。
變量替換法在解微分方程中，有著特殊的作用。但困難之處是如何選擇適宜的變量替換。一般來(lái)說(shuō)，變量替換的選擇并無(wú)一定之規(guī)，往往要根據(jù)所考慮的微分方程的特點(diǎn)而構(gòu)造。對(duì)于初學(xué)者，不妨多試一試，嘗試幾個(gè)直接了當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q。
【例2】求下列微分方程的通解
1、
2、
解1、令,則??
?
原方程化為?
即??
解2、
令?，原方程可化為
(其中??)
【例3】設(shè)河邊點(diǎn)的正對(duì)岸為點(diǎn)，河寬，兩岸為平行直線，水流速度為。有鴨子從點(diǎn)游向點(diǎn)，設(shè)鴨子(在靜水中)的游速為，且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)，求鴨子游過(guò)的跡線。
解：設(shè)水流速度為，鴨子游速為，則鴨子實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度為。
取為坐標(biāo)原點(diǎn)，河岸朝順?biāo)较驗(yàn)?sub>軸，軸指向?qū)Π?#xff0c;設(shè)在時(shí)刻鴨子位于點(diǎn)。
設(shè)鴨子運(yùn)動(dòng)速度為
，
故有??
而??，
從而?
由此得到微分方程
即??
令?，則?，，代入上面的方程有
分離變量得??
積分得??
?，?
?
?，?
以條件時(shí)代入上式，得?，故鴨子游過(guò)的跡線為
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第十二章 微分方程（1）微分方程的概念，可分离变量的微分方程，齐次方程的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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