1973年，匈牙利數(shù)學(xué)家 László Fejes Tóth在《Exploring a planet》一文中提出了區(qū)域猜想（Zone Conjecture）[1]。該猜想描述了如果一個單位球面被幾個區(qū)域完全覆蓋，它們的寬度(ω)總和至少為π。44年過去了，以色列理工學(xué)院（Technion）的數(shù)學(xué)家 Zilin Jiang 和莫斯科物理技術(shù)學(xué)院（MIPT）的 Alexandr Polyanskii 終于證明了Fejes Tóth的猜想，其結(jié)果發(fā)表于GAFA數(shù)學(xué)雜志 [2]。他們的證明對于離散幾何非常重要。

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○?László Fejes Tóth 猜想。半徑為1的單位球體被等寬的區(qū)域覆蓋。所有區(qū)域的寬度總和的最小值是π。每個區(qū)域用不同顏色標(biāo)記。| 圖片來源：MIPT

離散幾何學(xué)（Discrete Geometry）研究的是點(diǎn)、線、圓、多邊形和其他幾何對象的的組合性質(zhì)。例如它會思考如下問題：在一個球的周圍，最多有多少個相同尺寸的球能被擺放在它周圍？或者，在一個平面上，如何以最密集的方式排列相同大小的圓？又或者在一個收納空間中，如何放置最多數(shù)量的球？這類問題都需通過離散幾何來解答。

事實(shí)上，此類問題的解決方案具有很大的實(shí)際應(yīng)用價值。比如密集填充問題有助于優(yōu)化代碼并糾正數(shù)據(jù)傳輸中的錯誤。又如著名的四色定理，它描述的是用四種顏色就足以繪制球面上的這樣一個地圖，使得圖中任何相鄰的兩個區(qū)域都具有不同的顏色。它促使數(shù)學(xué)家引進(jìn)了圖論（Graph Theory）的重要概念，這對于許多近期在化學(xué)、生物和計算機(jī)科學(xué)以及邏輯系統(tǒng)上的發(fā)展都至關(guān)重要。

○?四色定理的一個例子。| 圖片來源：ACM.ORG

László Fejes?Tóth 的區(qū)域猜想與離散幾何中的一些其他問題也密切相關(guān)，這些問題已在20世紀(jì)就被解決，涉及到用條帶覆蓋表面。其中第一個就是所謂的木板問題（Plank Problem），涉及到用平行線組成的條帶覆蓋住圓盤。Alfred Tarski 和 Henryk Moese 用一個簡潔的方式證明了用來覆蓋圓面的條帶（或木板）的寬度的和至少等于圓的直徑。也就是說，沒有比用一個寬度與圓的直徑相等的木板更好的方法用來覆蓋圓盤。接著，Th?ger Bang 解決了用長條覆蓋任意凸體的問題。也就是說，他證明了覆蓋凸體的條帶的總寬度至少是凸體本身的寬度，即單個用于覆蓋凸體的條帶的最小寬度。

○?Tarski證明了，一個半徑為1的單位圓不能被寬度和小于2（即圓的直徑）的條帶完全覆蓋。圖中每個條帶都有自己的長度和顏色。| 圖片來源：MIPT

Zilin Jiang 和Alexandr Polyanskii 處理的問題有些不同，它涉及到的是關(guān)于用具有特殊構(gòu)造的區(qū)域來覆蓋一個單位球體。具體而言，每個區(qū)域都是球體與一個特定的三維板條的交叉，其中板條是包含在相對于球體的中心對稱的兩個平行平面之間的空間區(qū)域?；蛘呖梢圆挥媚景?#xff0c;而在測地線的度量空間里定義區(qū)域：一個在單位球表面的寬度為ω的區(qū)域，是距離大圓（球面上半徑等于球體半徑的圓弧）不超過±ω/2的點(diǎn)的集合，測量點(diǎn)與點(diǎn)間距離的是連接它們的最短弧。數(shù)學(xué)家必須找到能覆蓋單位球體上這些區(qū)域的最小寬度的和。因此，問題不同于之前解決的寬度測量的問題：它被定義為弧的長度，而不是平行線或面之間的歐幾里德距離。

○?在球體上一個寬度為ω的區(qū)域（黃）。| 圖片來源：MIPT

Jiang 和 Polyanskii 所作出的證明是受到了 Bang 的啟發(fā)，Bang 通過形成一組有限點(diǎn)集解決了用條帶覆蓋凸體表面的問題，其中一個假設(shè)沒有被任何條帶覆蓋。從某種意義上來說，無論是 Bang 還是 Jiang 和 Polyanskii 都是通過矛盾來證明的。在 FejesTóth 猜想的情況下，數(shù)學(xué)家假設(shè)完全覆蓋球體的區(qū)域的合并寬度小于π，并試圖達(dá)到矛盾點(diǎn)——即找到一個位于球體上的點(diǎn)，但又不在任何這些區(qū)域里。

○?完全覆蓋球體的區(qū)域。五個區(qū)域中的每個區(qū)域都有其自己的寬度和顏色。| 圖片來源：MIPT

Jiang 和 Polyanskii 成功展示了在三維空間中形成一組特別的點(diǎn)集，使得至少一個點(diǎn)不在木板覆蓋的構(gòu)成區(qū)域內(nèi)是可能的。如果這整個集合都位于球體內(nèi)部，那么在球體上描繪另一個沒有被木板覆蓋、也就是沒被區(qū)域覆蓋的點(diǎn)是相對容易的事。如果集合中的任何點(diǎn)碰巧位于球體之外，則可以用一個較大的區(qū)域代替幾個較小的區(qū)域，其寬度和與較大區(qū)域的寬度相等。因此，我們可以做到在不影響寬度和的前提下，減少初始問題中的區(qū)域數(shù)量。最終，球體上的某個點(diǎn)會被確定為不在這些區(qū)域內(nèi)。這與區(qū)域的總寬度小于π的假設(shè)背道而馳，因此證明了 FejesTóth 的猜想。

這個問題在n維空間中得到了解決，但 Jiang 和 Polyanskii 表示，這與三維空間的情況并沒有什么不同。

Polyanskii 說：“FejesTóth 的問題已經(jīng)吸引了離散幾何學(xué)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家們40多年的注意力。最終，這個問題得到了一個優(yōu)美簡潔的解決方案，是我們的幸運(yùn)。Fejes Tóth 的問題促使我們?nèi)ニ伎剂硪粋€關(guān)于球體覆蓋的更基本的猜想，在這個猜想中，覆蓋球面的條帶無需中央對稱?！?/span>

譯：佐佑

來源：原理

編輯：Gemini

原文鏈接：https://mipt.ru/english/news/mathematicians_crack_44_year_old_problem

參考文獻(xiàn)：

[1] L. Fejes Tóth. Research Problems: Exploring a Planet. Amer. Math. Monthly, 80(9):1043– 1044, 1973.

[2] https://link.springer.com/article/10.1007/s00039-017-0427-6

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的44年前的一个数学猜想终被破解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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