微分方程的解析解要求比較嚴(yán)苛，只有在特定的條件下才能寫(xiě)出解析解表達(dá)式，而在現(xiàn)實(shí)的科研問(wèn)題當(dāng)中，絕大多數(shù)情況我們會(huì)采用數(shù)值解（numeric solution）的方法來(lái)求解微分方程。這個(gè)時(shí)候就要用到ode方法了，ode是常微分方程英文名ordinary differential equation的縮寫(xiě)。我們將通過(guò)范德波爾方程為例演示求解的過(guò)程。大致可以分為2步：列方程和解方程。
一、列方程。
范德波爾方程用數(shù)學(xué)表達(dá)式可以寫(xiě)成一下形式：

由常微分理論可知，列方程需要給出兩個(gè)條件
1.方程式：即帶有未知數(shù)的等式
2.初始值：初始值不一樣，解也不一樣，這是解方程必須給出的數(shù)據(jù)。理論研究的時(shí)候，我們可以用C來(lái)表示常量，但是在做數(shù)值解的時(shí)候，必須給出具體的數(shù)值，比如上式中的2,0

如何把上面的數(shù)學(xué)表達(dá)式呢，需要在matlab中編寫(xiě)函數(shù)，本例中的范德波爾如下，特別要注意的是y和dy代表的意義，在代碼的注釋中有詳細(xì)的解釋：

function dy = vdp1000(t,y) %這個(gè)似乎是規(guī)定的范式，要記住，其中y是代表函數(shù)的解，y(1)就是需要求的解y,y(2)是y的微分y'，相當(dāng)于y(n)'=y(n+1) dy = zeros(2,1); %作為函數(shù)返回值的列向量，我猜測(cè)里面存儲(chǔ)的是解函數(shù)的微分,dy和y的區(qū)別在于相同索引的dy和y差一個(gè)微分d，相當(dāng)于dy(1)=y(1)'=y(2) dy(1)=y(2); %dy(1)存儲(chǔ)的的是y',可以簡(jiǎn)單記憶dy(1)=y',dy(2)=y'',y(n)=dy(n-1)=y的n-1個(gè)' dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); %注意到方恒的左邊都是關(guān)于dy(n)的表達(dá)式，右邊都是關(guān)于y(n)的表達(dá)式 end

二、解方程
在matlab中，我們使用ode系列方法來(lái)解方程，ode方法有很多，對(duì)于非剛性問(wèn)題，我們可以使用ode45/ode23/ode113等方法，對(duì)于剛性問(wèn)題，我們使用ode15s/ode23s/ode23t/ode23t等，對(duì)于范德波爾方程，我們使用ode15s來(lái)進(jìn)行求解，代碼如下。
注意方法的參數(shù)包括：方程@開(kāi)頭的句柄，求解時(shí)間范圍tspan，以及解的初始值，具體的解釋在代碼的注釋中有詳細(xì)的說(shuō)明

[T,Y] = ode15s(@vdp1000,[0 3000],[2,0]); %T和Y表示解，也就是Y關(guān)于T的函數(shù)，@vdp1000表示微分方程句柄，可以認(rèn)為是方程的名字，比如這里就是范德波爾方程，[0,3000]代表的是時(shí)間范圍，也就是限定了區(qū)間，顯然區(qū)間越大，計(jì)算量越大，所以要想清楚自己要哪一段的數(shù)據(jù)，給多了也沒(méi)用。[2,0]表示的是解的初始值，因?yàn)槌跏贾挡灰粯?#xff0c;解也不一樣，這是解方程必須給出的數(shù)據(jù)。這里給出了兩個(gè)初始值，2表示y的初始值，0表示dy的初始值。 plot(T,Y(:,1),'o')

我們?cè)谶\(yùn)行之后可以得到這個(gè)方程解的圖像如下：

這樣我們就完成了matlab中使用ode方法解范德波爾微分方程的數(shù)值解的任務(wù)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab中使用ode方法解范德波尔微分方程的数值解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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