第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

㈠復(fù)數(shù)表示：

①背景：實(shí)數(shù)領(lǐng)域中，乘冪運(yùn)算是不完備的，因?yàn)樨?fù)數(shù)導(dǎo)致了乘冪失效。②定義：將形如z=x+iy的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位。
* 規(guī)定：
* 實(shí)部與虛部：實(shí)數(shù)x與y分別稱為z的實(shí)部與虛部。記為
* 特別有：當(dāng)y=0，則為實(shí)數(shù)x；當(dāng)x=0，則為純虛數(shù)iy
* 復(fù)數(shù)相等：復(fù)數(shù)z1與z2的實(shí)部與虛部均相等，則相等。但復(fù)數(shù)不能比較大小！

③復(fù)數(shù)的形式：表示記為備注代數(shù)式注意復(fù)數(shù)相等的條件三角式r為復(fù)數(shù)的模|z|，幅角Argz，主值角argz0的模為0，幅角不確定指數(shù)式實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的真子集，復(fù)數(shù)擴(kuò)充了數(shù)域復(fù)數(shù)可以理解為平面上的點(diǎn)或者矢量，這個(gè)平面就是復(fù)平面。因?yàn)辄c(diǎn)是無(wú)序的所以不能比較大小虛數(shù)單位的增量iΔy代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角時(shí)，可以判斷原來(lái)(x,y)在第幾象限來(lái)確定θ在[-π,π]的哪個(gè)區(qū)間④共軛復(fù)數(shù)：⑴定義：實(shí)數(shù)相同，虛部相反的復(fù)數(shù)⑵性質(zhì)：注意復(fù)數(shù)模的定義是與共軛聯(lián)系在了一起，而不是乘法。因?yàn)橐ＷC模大于0。㈡復(fù)數(shù)運(yùn)算：
①加減：

*

幾何意義：

②乘法：三角與指數(shù)下更方便計(jì)算

*

幾何意義：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，模放大縮小

③除法：除法可以看成是實(shí)數(shù)化分母的過(guò)程

*

幾何意義：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，模放大縮小

④乘冪：

*

若n為正整數(shù)：
*
若n為負(fù)整數(shù)：定義則

⑤方根：，由于幅角的不確定性會(huì)有n個(gè)根出現(xiàn)

*

幾何意義：，以模的方根為半徑的圓的內(nèi)接n邊形

㈢無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與復(fù)球面
①無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)：這是復(fù)數(shù)中的一個(gè)點(diǎn)而不僅僅是微積分的符號(hào)。加上了它的復(fù)數(shù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面或全平面。
②復(fù)球面：

㈣平面點(diǎn)集：描述平面中點(diǎn)的集合論
①鄰域：平面上以z0為中心，半徑δ的圓表示為，稱為z0的領(lǐng)域，記為

*

去心鄰域

②內(nèi)點(diǎn)：若z0的鄰域內(nèi)均為區(qū)域G的點(diǎn)，稱z0為內(nèi)點(diǎn)

*

開(kāi)集：全為內(nèi)點(diǎn)，不含邊界即可
*
閉集：平面內(nèi)不含G的內(nèi)點(diǎn)的區(qū)域，或者說(shuō)是G的補(bǔ)集

③邊界點(diǎn)：若點(diǎn)z0既有G的點(diǎn)又有G的補(bǔ)集的點(diǎn)，稱z0為邊界點(diǎn)

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邊界線：所有邊界點(diǎn)的集合

④區(qū)域：

*

條件：1.全為內(nèi)點(diǎn)；2,連通
*
注意：區(qū)域不是閉區(qū)域，閉區(qū)域含有邊界！

㈣曲線：將z和復(fù)常數(shù)看作點(diǎn)容易勾勒出曲線
①簡(jiǎn)單：自身不重合
②閉：圍成區(qū)域

㈤復(fù)變函數(shù)
①?gòu)?fù)函數(shù)定義：設(shè)有一復(fù)數(shù)幾何G，若存在確定法則，對(duì)于G中每一個(gè)復(fù)數(shù)z，按照此法則，確定一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)w與其對(duì)應(yīng)，則稱w為z的函數(shù)。

*

柯西看法(z)：
*
黎曼看法(u,v)：
*
注：如何將含xy的式子或函數(shù)化成z的式子？——和

②映射：就像微積分的圖像一樣便于理解，只不過(guò)現(xiàn)在是平面對(duì)平面的投影

③極限：，記為

*

類比二元函數(shù)的極限，這里極限值不會(huì)以z—>z0的方式改變

④連續(xù)：，只需要考察uv在該點(diǎn)連續(xù)性即可
只考察u,v連續(xù)即可，換句話說(shuō)，只用單單考察u的三位一體

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第一章 复数与复变函数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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