歐拉法

首先先來介紹歐拉法，如果對于一條曲線，用$\Delta$$t$來將線段劃分成許多小段，那么我們就可以近似認為每一段的斜率都是常數，且對于第$i$段的斜率表示為
$$\frac{d{y}_i}{dt}=\frac{y_{i+1}?y_i}{\Delta t}$$
以最為常見的一階微分方程為例
$$\frac{dy}{dt}=a_{0}y+f(t)$$
我們再利用歐拉法求解的時候需要第$i$段的斜率，因此利用上式，帶入$(t_i,y_i)$求得$\frac{d{y}_i}{dt}$，綜合可得
$$\frac{y_{i+1}?y_i}{\Delta t}=a_0{y}_i+f(t_i)$$
再變一下型
$$y_{i+1}=(a_0\Delta t+1)y_i+f(t_i)\Delta t$$
這就是歐拉法，其誤差的大小取決于你$\Delta$$t$選擇的大小。

改進的歐拉法

首先計算出第$i$個點的斜率
$$\frac{d{y}_i}{dt}=a_0{y}_i+f(t_i)$$
然后再利用
$$y_{i+1}=\frac{d{y}_i}{dt}\Delta t+y_i$$
求出第$i+1$個點處的斜率
$$\frac{d{y}_{i+1}}{dt}=a_0{y}_{i+1}+f(t_i)$$
這樣我們在計算這一段時就會有兩個斜率可以用，所以就取這兩個斜率的平均值來作為這個線段的斜率
$$y_{i+1}=y_i+\frac{\Delta t}{2}(\frac{d{y}_{i+1}}{dt}+\frac{d{y}_i}{dt})$$

四階龍格-庫塔積分法

為了方便這里設$s_i=f(y_i,t_i)=a_0{y}_i+f(t_i)$，那么先計算
$$s_i=f(y_i,t_i)$$
再計算
$$s_{i+1}=f(y_i+\frac{\Delta t}{2}{s}_i,t_i+\frac{\Delta t}{2})??沿著s_i這個斜率向前走\frac{\Delta t}{2}處的斜率$$
再計算
$$s_{i+2}=f(y_i+\frac{\Delta t}{2}{s}_{i+1},t_i+\frac{\Delta t}{2})$$
$$s_{i+3}=f(y_i+\Delta t{s}_{i+2},t_i+\Delta t)$$
得到這4個斜率后再用下式計算
$$y_{i+1}=y_i+\frac{\Delta t}{6}(s_i+2s_{i+1}+2s_{i+2}+s_{i+3})$$
這種方法比前兩種算法都來得精準，但是增加了計算量，以及計算程序變得復雜。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的解微分方程数值解法（理论部分）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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