來源：數學建模清風學習內容整理

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文章目錄

• 插值算法
• 拉格朗日插值法合和牛頓插值法
• • 拉格朗日插值法
  • 拉格朗日插值存在的問題
  • 牛頓插值法
  • 兩種插值法的對比和問題
• ※埃爾米特插值（常用）
• ※三次樣條插值（常用）
• n維插值
• 插值預測
• 建模實例

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插值算法

• 插值的作用： 數模比賽中，常常需要根據已知的函數點進行數據、模型的處理和
  分析，而有時候現有的數據是極少的，不足以支撐分析的進行，這時就
  需要使用一些數學的方法，“模擬產生”一些新的但又比較靠譜的值來滿
  足需求，這就是插值的作用。

拉格朗日插值法合和牛頓插值法

拉格朗日插值法

拉格朗日插值存在的問題

當次數n太多會造成不穩定，誤差急劇增大，可采用分段解決

牛頓插值法

兩種插值法的對比和問題

• 所以 拉格朗日插值 和 牛頓插值 都不常用

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※埃爾米特插值（常用）

• 能夠保持線性程度良好

% 分段三次埃爾米特插值 x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p = pchip(x,y,new_x); figure(1); % 在同一個腳本文件里面，要想畫多個圖，需要給每個圖編號，否則只會顯示最后一個圖 plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')% plot函數用法: % plot(x1,y1,x2,y2) % 線方式： - 實線 :點線 -. 虛點線 - - 波折線 % 點方式： . 圓點 +加號 * 星號 x x形 o 小圓 % 顏色： y黃； r紅； g綠； b藍； w白； k黑； m紫； c青

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※三次樣條插值（常用）

% 三次樣條插值和分段三次埃爾米特插值的對比 x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p1 = pchip(x,y,new_x); %分段三次埃爾米特插值 p2 = spline(x,y,new_x); %三次樣條插值 figure(2); plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'b-') legend('樣本點','三次埃爾米特插值','三次樣條插值','Location','SouthEast') %標注顯示在東南方向 % 說明： % LEGEND(string1,string2,string3, …) % 分別將字符串1、字符串2、字符串3……標注到圖中，每個字符串對應的圖標為畫圖時的圖標。 % ‘Location’用來指定標注顯示的位置

n維插值

% n維數據的插值 x = -pi:pi; y = sin(x); new_x = -pi:0.1:pi; p = interpn (x, y, new_x, 'spline'); % 等價于 p = spline(x, y, new_x); figure(3); plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')

插值預測

% 人口預測（注意：一般我們很少使用插值算法來預測數據，隨著課程的深入，后面的章節會有更適合預測的算法供大家選擇，例如灰色預測、擬合預測等） population=[133126,133770,134413,135069,135738,136427,137122,137866,138639, 139538]; year = 2009:2018; p1 = pchip(year, population, 2019:2021) %分段三次埃爾米特插值預測 p2 = spline(year, population, 2019:2021) %三次樣條插值預測 figure(4); plot(year, population,'o',2019:2021,p1,'r*-',2019:2021,p2,'bx-') legend('樣本點','三次埃爾米特插值預測','三次樣條插值預測','Location','SouthEast')

建模實例

• 使用matlab插值補其缺少的數據

%插值預測中間周的水體評價指標 load Z.mat x=Z(1,:); %Z的第一行是星期Z: 1 3 5 7 9 11 13 15 [n,m]=size(Z);%n為Z的行數，m為Z的列數 % 注意Matlab的數組中不能保存字符串，如果要生成字符串數組，就需要使用元胞數組，其用大括號{}定義和引用 ylab={'周數','輪蟲','溶氧','COD','水溫','PH值','鹽度','透明度','總堿度','氯離子','透明度','生物量'}; % 等會要畫的圖形的標簽 disp(['共有' num2str(n-1) '個指標要進行插值。']) disp('正在對一號池三次埃爾米特插值，請等待')%一號池共有十一組要插值的數據，算上星期所在的第一行，共十二行 P=zeros(11,15);%對要儲存數據的矩陣P賦予初值 for i=2:n%從第二行開始都是要進行插值的指標y=Z(i,:);%將每一行依次賦值給ynew_x=1:15;%要進行插值的xp1=pchip(x,y,new_x);%調用三次埃爾米特插值函數subplot(4,3,i-1);%將所有圖依次變現在4*3的一幅大圖上plot(x,y,'ro',new_x,p1,'-');%畫出每次循環處理后的圖像axis([0 15,-inf,inf]) %設置坐標軸的范圍，這里設置橫坐標軸0-15，縱坐標不變化% xlabel('星期')%x軸標題ylabel(ylab{i})%y軸標題 這里是直接引用元胞數組中的字符串哦P(i-1,:)=p1;%將每次插值之后的結果保存在P矩陣中 end legend('原始數據','三次埃爾米特插值數據','Location','SouthEast')%加上標注，注意要手動在圖中拖動標注到圖片右下角哦 P = [1:15; P] %把P的第一行加上周數% % 注意：代碼文件僅供參考，一定不要直接用于自己的數模論文中 % % 國賽對于論文的查重要求非常嚴格，代碼雷同也算作抄襲

總結

以上是生活随笔為你收集整理的插值算法模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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