考研线性代数小总结
線性代數(shù)
一、行列式
1.1、行列式概念及其性質(zhì)
1.2、行列式展開
1.3、范德蒙行列式
1.4、克雷姆法則
二、矩陣
2.1、矩陣的概念和性質(zhì)
2.2、可逆矩陣和伴隨矩陣
2.3、矩陣的初等變換
? 初等變換分為行初等變換和列初等變換，我們所常用的是行初等變換。
? 行初等變換分為三種：
2.4、矩陣的秩
三、向量
3.1、向量的概念和性質(zhì)
3.2、線性表出和線性相關(guān)
3.3、向量組的秩
3.4、正交規(guī)范化和正交矩陣
? 施密特正交化：
β1?=α1?\vec{\beta_1} = \vec{\alpha_1} β1??=α1??
β2?=α2??α2?β1?β1?β1?β1?\vec{\beta_2} = \vec{\alpha_2} -\frac{\vec{\alpha_2}\vec{\beta_1}}{\vec{\beta_1}\vec{\beta_1}}\vec{\beta_1} β2??=α2???β1??β1??α2??β1???β1??
β3?=α3??α3?β2?β2?β2?β2??α3?β1?β1?β1?β1?\vec{\beta_3} = \vec{\alpha_3} -\frac{\vec{\alpha_3}\vec{\beta_2}}{\vec{\beta_2}\vec{\beta_2}}\vec{\beta_2}-\frac{\vec{\alpha_3}\vec{\beta_1}}{\vec{\beta_1}\vec{\beta_1}}\vec{\beta_1} β3??=α3???β2??β2??α3??β2???β2???β1??β1??α3??β1???β1??
? 正交矩陣：
? 定義：AAT =AT A = AA-1?= E
四、線性方程組
4.1、齊次方程組的解
? Ax=0，其中A為m x n的矩陣。
? 1）、r=n，也就是說行列式|A|!=0，方程組具有零解
? 2）、r<n，也就是說行列式|A|=0，方程組具有非零解
4.2、非齊次方程組的解
? Ax=b，其中A為m x n的矩陣，n為m x 1的矩陣(向量)
? 1）、r(A)!=r(A:b)，方程組無解
? 2）、r(A)=r(A:b)，方程組有解
? 2.1）、r(A)=n,方程組有唯一解
? 2.2）、r(A)<n，方程組有無窮解：
? 其中非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)=齊次方程組的通解+非齊次方程的特解。
五、特征值和特征向量
5.1、特征值和特征向量
5.2、相似矩陣
? 存在一個可逆矩陣P，使得 P-1AP=B，A~B，
? 相似矩陣的相關(guān)性質(zhì)：
? 1 特征值相等，λA=λB
? 2 矩陣行列式相等,|A|=|B|
? 還有一些可以通過變換得到的性質(zhì)。
5.3、實對稱矩陣
? 一般而言，這一小節(jié)主要講，將實對稱矩陣對角化
六、二次型
6.1、二次型和標準型
? 二次型：
f(x)=xTAxf(x)=x^TAx f(x)=xTAx
其中A為對稱矩陣，x為列向量
? 標準型：
? f(x)不含有交叉項0
? 規(guī)范性：
? 使得f(x)中的系數(shù)只含有-1、0、1.
6.2、正定型
? question 1）如何判定二次型是否正定型？
? 答：1）霍爾維茲定理，n階順序主子式均大于0.
? 2）使用特征值，求出矩陣的特征值
? 3）使用配方法，得到正慣性指數(shù)和負慣性指數(shù)
? 2個必要條件：
? A的特征值大于0
? 主對角線的元素均大于0
? 如果上述條件有一個不滿足，說明該矩陣不是正定型矩陣。
小結(jié)：標準型和規(guī)范性有什么區(qū)別，共同點在哪里？
?
總結(jié)
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