基于matlab的零輸入和零狀態響應

一、 課程設計題目： 信號系統的時域分析 二、課程設計目的： 1、學習MATLAB 軟件的使用。 2、使學生掌握利用工具軟件來實現信號系統基本概念、基本原 理的方法。 3、通過編程對 matlab 軟件的具體應用有了更好的了解，進一步 加強了對函數卷積，零輸入，零響應狀態這三種函數狀態的理解。 二、 基本原理 1、卷積 信號的卷積是數學上的一種積分運算，兩個信號的卷積定義為： 信號的卷積運算在系統分析中主要用于求解系統的零狀態響應。一 般情況，卷積積分的運算比較困難，但在 MATLAB 中則變得十分 簡單，MATLAB 中是利用 conv 函數來實現卷積的。 Conv 函數功能：實現二個函數 和 的卷積。 格式： 說明： 表示二個函數， 表示兩個函數的卷積結果。 例：已知兩信號f1(t)= ε(t+1)+ε(t-2) f2(t)=ε(t-3)+ε(t-8) 求卷積MATLAB 程序如下： t1=-1:0.01:2; f1=ones(size(t1)); %高度為一的門函數，時間從t=-1到t=2 t2=3:0.01:8; f2=ones(size(t2)); %高度為一的門函數，時間從t=3到t=8 g=conv(f1,f2); %對f1和f2進行卷積 t3=2:0.01:10; subplot(3,1,1),plot(t1,f1),title(‘f1’);grid %畫f1的波 形 subplot(3,1,2),plot(t2,f2) ,title(‘f2’);grid %畫f2的波形 subplot(3,1,3),plot(t3,g) ,title(‘f1*f2’);grid %畫g的波形2、零輸入，零狀態響應 一般的連續時間系統分析有以下幾個步驟: ①求解系統的零輸 入響應; ②求解系統的零狀態響應; ③求解系統的全響應; ④分析 系統的卷積；⑤畫出它們的圖形. 下面以具體的微分方程為例說明 利用MATLAB 軟件分析系統的具體方法. 2.1．連續時間系統的零輸入響應描述n階線性時不變(LTI)連續系統的微分方程為：已知y及各階導數的初始值為y(0),y (1) (0)，… y (n-1) (0)， 求系 統的零輸入響應。 當LIT系統的輸入為零時，其零輸入響應為微分方程的其次解 (即令微分方程的等號右端為零) ，其形式為(設特征根均為單根) 1 1 2 1 1 1 1 n n m n n m m n n m d y d y dy d u du a a a a y b b b u dt dt dt dt dt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中 p 1 ,p 2 ,…,p n 是特征方程 a 1 λ n +a 2 λ n-1 +…+a n λ+a n =0 的根，它們 可以用root(a)語句求得。各系數 由y及其各階導數的初始值來 確定。對此有 寫成矩陣形式為: P 1 n-1 C 1 + P 2 n-1 C 2 +…+ P n n-1 C n =D n-1 y 0 1 0 1 2 2 0 1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 n n n n n n n C y p p p C Dy p p p C D y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A A A A A A 即 V?C=Y 0 其解為：C=V\Y 0式中 V為范德蒙矩陣，在matlab的特殊矩陣庫中有vander。 以下面式子為例： y″(t)+3y′(t)+6y(t)=6f′(t)-8f′(t) 初始條件為y(0_)=0,y′(0_)=10; MATLAB程序： a=[1,3,6]; 1 2 1 2 ( ) n p t pt p t n y t Ce C e C e ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 0 n C C C y ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 0 n n pC p C p C Dy ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 2 2 0 n n n n n n p C p C p C D y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 n n n n n p p p V p p p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A A A A ? ? 1 2 n C C C C ? ? ? ? 1 0 0 0 n C y Dy D y ? ? ? ? ? ? ? ? ?n=length(a)-1;Y0=[0,10]; p=roots(a);V=rot90(vander(p));c=V\Y0 ; dt=0.002;te=9; t=0:dt:te;y=zeros(1,length(t)); for k=1:n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);end plot(t,y);grid xlabel( t ) ;ylabel( y ); title( 零輸入響應 ); 2.2連續時間系統零狀態響應的數值計算我們知道，LTI連續系統可用如下所示的線性常系數微分方程來 描述， ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) N M i j i j i j a y t b f t ? ? ? ? ? 例如，對于以下方程: 3 2 1 0 3 2 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a y t a y t a y t a y t b f t b f t b f t b f t ? ? ? ? ? ? ? 可用 輸入函數 ，得出它的 3 2 1 0 3 2 1 0 [ , , , ], [ , , , ], a a a a a b b b b b ? ? ( ) u f t ? 沖激響應h ，再根據LTI系統的零狀態響應y(t)是激勵u(t) 與沖激響應h(t)的卷積積分。 注意，如果微分方程的左端或右端表達式中有缺項，則其向量 a 或 b中的對應元素應為零，不能省略不寫，否則出錯。 求函數的零狀態響應y″(t)+3y′(t)+6y(t)=6f′(t)-8f′(t) 及初始狀態 。輸入函數 。 (0 ) (0 ) 0 zs zs y y ? ? ? ? ) * 5 cos( ) * 2 sin( t t y ? ? 先求出系統的沖激響應，寫出其特征方程0 3 2 2 ? ? ? ? ? 求出其特征根為p和p，及相應的留數r，r；則沖激響應為1 2 1 2 ( ) pt p t h t re re ? ? 輸入y(t)可用輸入u(t)與沖激響應h(t)的卷積求得。 MATLAB程序： a=[1,3,6]; n=length(a)-1; Y0=[0,10]; b=[1,6,8]; dt=0.001;te=9;

總結

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