拓?fù)涫茄芯繋缀螆D形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的一個(gè)學(xué)科。它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的形狀和大小。

拓?fù)涫羌仙系囊环N結(jié)構(gòu)。

拓?fù)溆⑽拿荰opology，直譯是地志學(xué)，最早指研究地形、地貌相類似的有關(guān)學(xué)科。幾何拓?fù)鋵W(xué)是十九世紀(jì)形成的一門數(shù)學(xué)分支，它屬于幾何學(xué)的范疇。

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“代數(shù)拓?fù)涞幕居^點(diǎn)：幾何對象的代數(shù)照相。這種照相是用范疇與函子的語言來表達(dá)的?！?/p>

——姜伯駒?

范疇和函子（尤其是函子）主要是由代數(shù)拓?fù)湟龅母拍?#xff0c;主要目的是用一種更抽象統(tǒng)一的語言來描述關(guān)于拓?fù)淇臻g的不變量，也就是如果能用函子把兩個(gè)范疇（例如拓?fù)淇臻g范疇和群范疇）聯(lián)系起來，那么一個(gè)范疇中的對象（拓?fù)淇臻g）在函子作用下所對應(yīng)的另一個(gè)范疇中的對象（基本群）就是這個(gè)對象（拓?fù)淇臻g）的不變量。（因?yàn)槲覀兺負(fù)鋵W(xué)中知道，兩個(gè)拓?fù)淇臻g同胚，那么它們的基本群同構(gòu)）

注：初學(xué)者可先看本文第三部分，再看一、二。

【一】范疇

【范疇】什么是范疇？簡單來說，一個(gè)范疇由兩個(gè)集合組成：

（1）一些對象構(gòu)成的一個(gè)類；

（2）中附加上每個(gè)對象之間的所有態(tài)射構(gòu)成的族。

并且滿足：態(tài)射間的復(fù)合律（為到的態(tài)射，為到的態(tài)射，那么為到的態(tài)射，且運(yùn)算“”是結(jié)合的）；以及存在每個(gè)對象到自己的恒同態(tài)射（，）。

舉幾個(gè)例子：

1. 所有群以及群之間的同態(tài)映射構(gòu)成一個(gè)范疇（其中，每個(gè)對象是群，兩個(gè)對象之間的所有態(tài)射就是這兩個(gè)群之間的所有同態(tài)映射），稱為群范疇；

2. 所有線性空間以及線性空間的線性映射構(gòu)成一個(gè)范疇（其中，每個(gè)對象是線性空間，兩個(gè)對象減的所有態(tài)射就是這兩個(gè)線性空間的所有線性映射），稱為線性空間范疇；

3. 所有拓?fù)淇臻g以及拓?fù)淇臻g的連續(xù)映射構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g范疇；

4. 所有微分流形以及微分流形之間的光滑映射構(gòu)成一個(gè)微分流形范疇；

......?

【同構(gòu)】如何描述范疇中兩個(gè)對象是“一樣”的？引入同構(gòu)的概念：范疇中的兩個(gè)對象、間如果存在一個(gè)態(tài)射以及另一個(gè)態(tài)射，滿足（恒同態(tài)射）且（恒同態(tài)射），則稱這兩個(gè)對象同構(gòu)，稱、為同構(gòu)態(tài)射。

【積與余積】如何由一個(gè)范疇中幾個(gè)對象生成一個(gè)更大的對象呢？我們引入積與余積的概念：可以簡單理解成，范疇中任意多個(gè)空間的積（Product）就是通常所說的直積（笛卡爾積）的推廣，記為；而任意多個(gè)空間的余積（Coproduct）是直和的推廣，記為或。

（注意：在一個(gè)范疇中，積與余積不一定存在！但若存在，則積（余積）在同構(gòu)意義下唯一，此時(shí)稱該范疇為積范疇（余積范疇））

例如：

1. 集合范疇里的積就是通常意義下的笛卡爾積，余積是不交并；

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2. 群范疇和環(huán)范疇里面的積就是直積，余積是自由積；

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3. 模范疇里面的積就是笛卡爾積，余積是有限多對象做笛卡爾積；

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4. 線性空間范疇里面的積就是笛卡爾積，余積是有限多對象做笛卡爾積；

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5. 拓?fù)淇臻g范疇里面的積就是笛卡爾積，余積是拓?fù)浜汀?/p>

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積與余積的嚴(yán)格定義可以參考下圖：

【二】函子?

【引入】 先來做個(gè)填空題：

兩個(gè)____空間存在同態(tài) ，那么它們對應(yīng)的兩個(gè)____空間存在同態(tài)。

我們可以填寫如下：

兩個(gè)拓?fù)淇臻g存在連續(xù)映射（同胚），那么它們對應(yīng)的基本群同態(tài)（同構(gòu)）；

兩個(gè)拓?fù)淇臻g存在連續(xù)映射（同胚），那么它們對應(yīng)的奇異同調(diào)群同態(tài)（同構(gòu)）；

兩個(gè)微分流形存在光滑映射（微分同胚），那么它們對應(yīng)的deRham上同調(diào)群同態(tài)（同構(gòu)）；

兩個(gè)李群同態(tài)（同構(gòu)），那么它們對應(yīng)的李代數(shù)同態(tài)（同構(gòu)）；

......

我們把這些關(guān)系抽象成一個(gè)更一般的形式，也就是所謂的“函子”。

【函子的定義】函子是兩個(gè)范疇之間的一種映射（關(guān)系）。 它把對象映射到對象，態(tài)射映射到態(tài)射。函子分為協(xié)變函子與反變函子，先給出協(xié)變函子的具體定義：

給定范疇和，如果它們之間存在一個(gè)映射，滿足：

1. 對象到對象：把中對象映射到；

2. 態(tài)射到態(tài)射：把中態(tài)射映射到中態(tài)射，且滿足：

（1）（恒等律）恒等態(tài)射映到恒等態(tài)射：；

（2）（復(fù)合律）。

則稱映射為范疇到范疇的一個(gè)協(xié)變函子。

至于反變函子，只是把定義第2條中“”改為，其它類似。

【函子的性質(zhì)】函子最主要有兩條性質(zhì)，也就是：

1. 函子把同構(gòu)態(tài)射到同構(gòu)態(tài)射；

2.?和存在一個(gè)函子?，和存在一個(gè)函子，則是到的一個(gè)函子。

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這樣，我們再重新看一下“引入”中的例子，把前者和后者分別當(dāng)成一個(gè)范疇，那么它們之間存在一個(gè)函子。

例如，拓?fù)淇臻g范疇到Abel群范疇有一個(gè)函子，把中兩個(gè)拓?fù)淇臻g、（對象）分別映射到它們的奇異同調(diào)群和?（中兩個(gè)對象），且把到的任一連續(xù)映射（態(tài)射）映射到為到的同態(tài)（態(tài)射）。

【三】關(guān)于代數(shù)拓?fù)?/h2>

• 先提個(gè)基本問題，什么是拓?fù)淇臻g以及為什么研究拓?fù)淇臻g？

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可以說拓?fù)淇臻g是幾何學(xué)（廣義所指，包含拓?fù)鋵W(xué)）的基礎(chǔ)?，F(xiàn)代幾何學(xué)研究的東西都是在某個(gè)特定的拓?fù)淇臻g上展開的，或者說：幾何學(xué)的基本對象就是拓?fù)淇臻g。

比如流形，其就是局部同胚于歐式空間的拓?fù)淇臻g（又稱Hausdorff空間）；再比如前兩篇我們談的微分流形，其實(shí)質(zhì)就是賦有微分結(jié)構(gòu)的流形；再比如微分幾何，其研究的也是賦有某種特定結(jié)構(gòu)（比如黎曼度量，聯(lián)絡(luò)，張量場等等）的微分流形。

那么，什么是拓?fù)淇臻g呢？拓?fù)淇臻g有如下嚴(yán)格定義：設(shè)是一個(gè)非空集合，它的一個(gè)子集族滿足：（1）、在中；（2）對任意并封閉；（3）對任意交封閉。則稱集合為一個(gè)賦有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的拓?fù)淇臻g，記為。

• 什么又是代數(shù)拓?fù)?#xff1f;

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拓?fù)鋵W(xué)（尤其是代數(shù)拓?fù)?#xff09;是幾何學(xué)的一個(gè)分支，其最終目的是為了找一些拓?fù)洳蛔兞繉ν負(fù)淇臻g進(jìn)行分類。因?yàn)辄c(diǎn)集拓?fù)渲械牟蛔兞?#xff0c;諸如連通性、緊致性等等這些不變量實(shí)在不夠用，所以我們想通過找一些和拓?fù)淇臻g有關(guān)的代數(shù)空間（有代數(shù)結(jié)構(gòu)的拓?fù)洳蛔兞?#xff0c;即在拓?fù)淇臻g同胚下同構(gòu)），通過認(rèn)識(shí)代數(shù)空間的結(jié)構(gòu)來認(rèn)識(shí)原來拓?fù)淇臻g的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上將拓?fù)淇臻g進(jìn)行分類。

用范疇和函子的語言來描述就是，找到一個(gè)代數(shù)空間范疇，使得拓?fù)淇臻g范疇到這個(gè)代數(shù)空間范疇之間有一個(gè)函子（因?yàn)楹影淹負(fù)淇臻g的連續(xù)映到代數(shù)空間的同態(tài)，且把拓?fù)淇臻g的同胚映到代數(shù)空間的同構(gòu)）。

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而我們更大的夢想是找到一個(gè)代數(shù)空間范疇，使得這個(gè)范疇到拓?fù)淇臻g范疇之間有一個(gè)函子！但是找了幾十年還是沒有找到這樣的范疇。（但在一些特定的拓?fù)淇臻g中，我們確實(shí)做到了）

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/23206745

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/feng9exe/p/9157158.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的预备篇 I ：范畴与函子的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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