预备篇 I :范畴与函子
拓?fù)涫茄芯繋缀螆D形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的一個(gè)學(xué)科。它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的形狀和大小。
拓?fù)涫羌仙系囊环N結(jié)構(gòu)。
拓?fù)溆⑽拿荰opology,直譯是地志學(xué),最早指研究地形、地貌相類似的有關(guān)學(xué)科。幾何拓?fù)鋵W(xué)是十九世紀(jì)形成的一門數(shù)學(xué)分支,它屬于幾何學(xué)的范疇。
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“代數(shù)拓?fù)涞幕居^點(diǎn):幾何對象的代數(shù)照相。這種照相是用范疇與函子的語言來表達(dá)的?!?/p>
——姜伯駒?
范疇和函子(尤其是函子)主要是由代數(shù)拓?fù)湟龅母拍?#xff0c;主要目的是用一種更抽象統(tǒng)一的語言來描述關(guān)于拓?fù)淇臻g的不變量,也就是如果能用函子把兩個(gè)范疇(例如拓?fù)淇臻g范疇和群范疇)聯(lián)系起來,那么一個(gè)范疇中的對象(拓?fù)淇臻g)在函子作用下所對應(yīng)的另一個(gè)范疇中的對象(基本群)就是這個(gè)對象(拓?fù)淇臻g)的不變量。(因?yàn)槲覀兺負(fù)鋵W(xué)中知道,兩個(gè)拓?fù)淇臻g同胚,那么它們的基本群同構(gòu))
注:初學(xué)者可先看本文第三部分,再看一、二。
【一】范疇
【范疇】什么是范疇?簡單來說,一個(gè)范疇由兩個(gè)集合組成:
(1)一些對象構(gòu)成的一個(gè)類;
(2)中附加上每個(gè)對象之間的所有態(tài)射構(gòu)成的族。
并且滿足:態(tài)射間的復(fù)合律(為到的態(tài)射,為到的態(tài)射,那么為到的態(tài)射,且運(yùn)算“”是結(jié)合的);以及存在每個(gè)對象到自己的恒同態(tài)射(,)。
舉幾個(gè)例子:
1. 所有群以及群之間的同態(tài)映射構(gòu)成一個(gè)范疇(其中,每個(gè)對象是群,兩個(gè)對象之間的所有態(tài)射就是這兩個(gè)群之間的所有同態(tài)映射),稱為群范疇;
2. 所有線性空間以及線性空間的線性映射構(gòu)成一個(gè)范疇(其中,每個(gè)對象是線性空間,兩個(gè)對象減的所有態(tài)射就是這兩個(gè)線性空間的所有線性映射),稱為線性空間范疇;
3. 所有拓?fù)淇臻g以及拓?fù)淇臻g的連續(xù)映射構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g范疇;
4. 所有微分流形以及微分流形之間的光滑映射構(gòu)成一個(gè)微分流形范疇;
......?
【同構(gòu)】如何描述范疇中兩個(gè)對象是“一樣”的?引入同構(gòu)的概念:范疇中的兩個(gè)對象、間如果存在一個(gè)態(tài)射以及另一個(gè)態(tài)射,滿足(恒同態(tài)射)且(恒同態(tài)射),則稱這兩個(gè)對象同構(gòu),稱、為同構(gòu)態(tài)射。
【積與余積】如何由一個(gè)范疇中幾個(gè)對象生成一個(gè)更大的對象呢?我們引入積與余積的概念:可以簡單理解成,范疇中任意多個(gè)空間的積(Product)就是通常所說的直積(笛卡爾積)的推廣,記為;而任意多個(gè)空間的余積(Coproduct)是直和的推廣,記為或。
(注意:在一個(gè)范疇中,積與余積不一定存在!但若存在,則積(余積)在同構(gòu)意義下唯一,此時(shí)稱該范疇為積范疇(余積范疇))
例如:
1. 集合范疇里的積就是通常意義下的笛卡爾積,余積是不交并;
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2. 群范疇和環(huán)范疇里面的積就是直積,余積是自由積;
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3. 模范疇里面的積就是笛卡爾積,余積是有限多對象做笛卡爾積;
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4. 線性空間范疇里面的積就是笛卡爾積,余積是有限多對象做笛卡爾積;
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5. 拓?fù)淇臻g范疇里面的積就是笛卡爾積,余積是拓?fù)浜汀?/p>
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積與余積的嚴(yán)格定義可以參考下圖:
【二】函子?
【引入】 先來做個(gè)填空題:
兩個(gè)____空間存在同態(tài) ,那么它們對應(yīng)的兩個(gè)____空間存在同態(tài)。
我們可以填寫如下:
兩個(gè)拓?fù)淇臻g存在連續(xù)映射(同胚),那么它們對應(yīng)的基本群同態(tài)(同構(gòu));
兩個(gè)拓?fù)淇臻g存在連續(xù)映射(同胚),那么它們對應(yīng)的奇異同調(diào)群同態(tài)(同構(gòu));
兩個(gè)微分流形存在光滑映射(微分同胚),那么它們對應(yīng)的deRham上同調(diào)群同態(tài)(同構(gòu));
兩個(gè)李群同態(tài)(同構(gòu)),那么它們對應(yīng)的李代數(shù)同態(tài)(同構(gòu));
......
我們把這些關(guān)系抽象成一個(gè)更一般的形式,也就是所謂的“函子”。
【函子的定義】函子是兩個(gè)范疇之間的一種映射(關(guān)系)。 它把對象映射到對象,態(tài)射映射到態(tài)射。函子分為協(xié)變函子與反變函子,先給出協(xié)變函子的具體定義:
給定范疇和,如果它們之間存在一個(gè)映射,滿足:
1. 對象到對象:把中對象映射到;
2. 態(tài)射到態(tài)射:把中態(tài)射映射到中態(tài)射,且滿足:
(1)(恒等律)恒等態(tài)射映到恒等態(tài)射:;
(2)(復(fù)合律)。
則稱映射為范疇到范疇的一個(gè)協(xié)變函子。
至于反變函子,只是把定義第2條中“”改為,其它類似。
【函子的性質(zhì)】函子最主要有兩條性質(zhì),也就是:
1. 函子把同構(gòu)態(tài)射到同構(gòu)態(tài)射;
2.?和存在一個(gè)函子?,和存在一個(gè)函子,則是到的一個(gè)函子。
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這樣,我們再重新看一下“引入”中的例子,把前者和后者分別當(dāng)成一個(gè)范疇,那么它們之間存在一個(gè)函子。
例如,拓?fù)淇臻g范疇到Abel群范疇有一個(gè)函子,把中兩個(gè)拓?fù)淇臻g、(對象)分別映射到它們的奇異同調(diào)群和?(中兩個(gè)對象),且把到的任一連續(xù)映射(態(tài)射)映射到為到的同態(tài)(態(tài)射)。
【三】關(guān)于代數(shù)拓?fù)?/h2> - 先提個(gè)基本問題,什么是拓?fù)淇臻g以及為什么研究拓?fù)淇臻g?
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可以說拓?fù)淇臻g是幾何學(xué)(廣義所指,包含拓?fù)鋵W(xué))的基礎(chǔ)?,F(xiàn)代幾何學(xué)研究的東西都是在某個(gè)特定的拓?fù)淇臻g上展開的,或者說:幾何學(xué)的基本對象就是拓?fù)淇臻g。
比如流形,其就是局部同胚于歐式空間的拓?fù)淇臻g(又稱Hausdorff空間);再比如前兩篇我們談的微分流形,其實(shí)質(zhì)就是賦有微分結(jié)構(gòu)的流形;再比如微分幾何,其研究的也是賦有某種特定結(jié)構(gòu)(比如黎曼度量,聯(lián)絡(luò),張量場等等)的微分流形。
那么,什么是拓?fù)淇臻g呢?拓?fù)淇臻g有如下嚴(yán)格定義:設(shè)是一個(gè)非空集合,它的一個(gè)子集族滿足:(1)、在中;(2)對任意并封閉;(3)對任意交封閉。則稱集合為一個(gè)賦有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的拓?fù)淇臻g,記為。
- 什么又是代數(shù)拓?fù)?#xff1f;
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拓?fù)鋵W(xué)(尤其是代數(shù)拓?fù)?#xff09;是幾何學(xué)的一個(gè)分支,其最終目的是為了找一些拓?fù)洳蛔兞繉ν負(fù)淇臻g進(jìn)行分類。因?yàn)辄c(diǎn)集拓?fù)渲械牟蛔兞?#xff0c;諸如連通性、緊致性等等這些不變量實(shí)在不夠用,所以我們想通過找一些和拓?fù)淇臻g有關(guān)的代數(shù)空間(有代數(shù)結(jié)構(gòu)的拓?fù)洳蛔兞?#xff0c;即在拓?fù)淇臻g同胚下同構(gòu)),通過認(rèn)識(shí)代數(shù)空間的結(jié)構(gòu)來認(rèn)識(shí)原來拓?fù)淇臻g的性質(zhì),并在此基礎(chǔ)上將拓?fù)淇臻g進(jìn)行分類。
用范疇和函子的語言來描述就是,找到一個(gè)代數(shù)空間范疇,使得拓?fù)淇臻g范疇到這個(gè)代數(shù)空間范疇之間有一個(gè)函子(因?yàn)楹影淹負(fù)淇臻g的連續(xù)映到代數(shù)空間的同態(tài),且把拓?fù)淇臻g的同胚映到代數(shù)空間的同構(gòu))。
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而我們更大的夢想是找到一個(gè)代數(shù)空間范疇,使得這個(gè)范疇到拓?fù)淇臻g范疇之間有一個(gè)函子!但是找了幾十年還是沒有找到這樣的范疇。(但在一些特定的拓?fù)淇臻g中,我們確實(shí)做到了)
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https://zhuanlan.zhihu.com/p/23206745
轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/feng9exe/p/9157158.html
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的预备篇 I :范畴与函子的全部內(nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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