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爆炸吧知識(shí)

隨機(jī)游走（Random Walk）是《隨機(jī)過程》教科書中用于描述動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象的一種基本隨機(jī)過程，許多重要的隨機(jī)過程都可由它派生出來，其理論不僅在隨機(jī)過程中占有相當(dāng)重要的地位，而且也是自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)研究動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)工具。

液體中懸浮微粒的布朗運(yùn)動(dòng)、光纖陀螺中的隨機(jī)游走誤差和股票市場(chǎng)中的價(jià)格波動(dòng)等隨機(jī)現(xiàn)象均可用隨機(jī)游走過程進(jìn)行描述。

拋硬幣試驗(yàn)概率分析

概率定義：在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，其中事件A發(fā)生的次數(shù)為nA，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增多，事件A發(fā)生的頻率nA/n會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率。

概率是用來描述隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。對(duì)于拋硬幣試驗(yàn)，我們雖然無法預(yù)測(cè)下一次硬幣是正面還是反面，但是我們知道當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n足夠大時(shí)，硬幣正、反面出現(xiàn)的概率均為0.5，試驗(yàn)結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)出正面反面各一半的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。

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圖1拋硬幣試驗(yàn)

用概率描述拋硬幣試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí)有一先決條件：拋硬幣試驗(yàn)的次數(shù)n要充分大！

如果用概率來描述n=1時(shí)的拋硬幣試驗(yàn)結(jié)果，則意味著如果只拋擲一次硬幣，會(huì)同時(shí)出現(xiàn)正、反面向上的荒謬結(jié)果。

但是，《隨機(jī)過程》教課書恰恰就用概率來描述拋硬幣試驗(yàn)中每一次拋出硬幣的結(jié)果，并由此來定義隨機(jī)游走，從而推導(dǎo)出了一系列與事實(shí)不符的性質(zhì)和結(jié)論。

隨機(jī)游走定義

連續(xù)拋投均勻硬幣，記錄結(jié)果：

ξ1，ξ2，ξ3，……，ξn

設(shè)ξ1，ξ2，ξ3，……，ξn獨(dú)立同分布（i.i.d.），P（ξi =1）= P（ξi =-1）=1/2，定義

Sn=ξ1+ξ2+ξ3+……+ξn

為簡(jiǎn)單隨機(jī)游走。

圖2 隨機(jī)游走定義

拋硬幣試驗(yàn)概率計(jì)算

連續(xù)拋投均勻硬幣，記錄結(jié)果：

ξ1，ξ2，ξ3，……，ξn

上述n個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果雖然事前無法預(yù)測(cè)，但是事后就是n個(gè)確定的隨機(jī)試驗(yàn)樣本值，即一組時(shí)間序列。

ξi的取值不是為1，就是為-1，不可能同時(shí)取值1和-1，因此第i次試驗(yàn)結(jié)果ξi是次數(shù)i的函數(shù)，圖3給出了某次拋硬幣試驗(yàn)結(jié)果ξi的函數(shù)圖像。

圖3 拋硬幣試驗(yàn)結(jié)果函數(shù)圖像

假設(shè)在n次拋硬幣試驗(yàn)結(jié)果中正面和反面出現(xiàn)的次數(shù)分別為nH和nT，根據(jù)概率定義，正、反面出現(xiàn)的概率分別為

隨機(jī)游走定義概念錯(cuò)誤

根據(jù)上述對(duì)拋硬幣試驗(yàn)概率的概念分析和計(jì)算方法可以看出，《隨機(jī)過程》教課書中的隨機(jī)游走定義出現(xiàn)了下面兩個(gè)嚴(yán)重的基本概念錯(cuò)誤：

（1）用概率p和q來描述拋硬幣試驗(yàn)中每一次拋出硬幣后正、反面出現(xiàn)的可能性；

（2）拋硬幣試驗(yàn)結(jié)果ξ1，ξ2，ξ3，……，ξn是n個(gè)確定的樣本值，第i次試驗(yàn)結(jié)果ξi是次數(shù)i的函數(shù)，隨機(jī)游走定義將n個(gè)確定的隨機(jī)試驗(yàn)樣本值假設(shè)為n個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量。

如果將隨機(jī)試驗(yàn)樣本值ξi假設(shè)為隨機(jī)變量，則ξi={1，-1}，P（ξi =1）= P（ξi =-1）=1/2，表明每次拋硬幣都會(huì)同時(shí)出現(xiàn)正面向上和反面向上的試驗(yàn)結(jié)果。

重新定義隨機(jī)游走

連續(xù)拋投均勻硬幣，記錄結(jié)果：

ξ1，ξ2，ξ3，……，ξn

上述n個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果雖然事前無法預(yù)測(cè)，但是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n足夠大時(shí)，硬幣正面出現(xiàn)的概率p和反面出現(xiàn)的概率q均為0.5，可由此計(jì)算出拋硬幣試驗(yàn)結(jié)果的算數(shù)平均值為

式中算數(shù)平均值m的物理意義為時(shí)間序列ξ1，ξ2，……，ξn中的直流分量。

由于每次拋硬幣都是獨(dú)立的，因此可直接得出拋硬幣試驗(yàn)結(jié)果時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)為

式中δ(k)為單位沖擊序列，表明僅在k=0 時(shí)，ξi才具有相關(guān)性，只要不是同一次拋出，試驗(yàn)結(jié)果就互不相關(guān)。

由維納-欣欽定理，可得時(shí)間序列ξ1，ξ2，……，ξn的功率譜密度

Sξ(ω)=1

因此，連續(xù)拋硬幣試驗(yàn)結(jié)果ξ1，ξ2，ξ3，……，ξn實(shí)際上是一個(gè)平均功率為1的白噪聲序列（圖3），可給出正確的隨機(jī)游走定義。

定義：設(shè)ξ1，ξ2，……，ξn為平均功率為1的白噪聲序列，則稱

Sn=ξ1+ξ2+ξ3+……+ξn

為簡(jiǎn)單隨機(jī)游走。

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寫在最后

專注學(xué)習(xí)的同時(shí)，也要注意勞逸結(jié)合！穿上知識(shí)周邊“同理可得”與“顯然易證”文化T恤運(yùn)動(dòng)起來！

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作者簡(jiǎn)介

高宏，畢業(yè)于清華大學(xué)精密儀器系，分別獲工學(xué)學(xué)士、碩士和博士學(xué)位，留校任教從事測(cè)試信號(hào)分析與處理的教學(xué)與科研工作，現(xiàn)任紫光股份有限公司CTO，北京市科協(xié)委員。

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總結(jié)

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