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數據與算法之美

消失的正方形

這是數學游戲大師馬丁·加德納在《從驚訝到思考》一書中提到過的例子。重新擺放分割的小塊圖形后，上面的正方形中少了一個小方格，它去了哪里？我們不妨實際操作一下，做兩個全等的、上面沒有孔洞的正方形（做的越大越好）。

把其中一個按圖中的式樣精確地剪成所需要的五塊，然后重新安排一下，拼成右邊的樣子的。最后把它放到未經剪切的正方形上邊，讓二者的上邊和兩側邊都重合。你會發現，其實帶方格的圖形不是真正的正方形。它實際上是長方形，比正方形高 1／12。它的底部多出一個 12 * （1／12） 的窄帶，其面積恰好等同于消失方格的面積。

所有三角形都是等腰三角形

這是一個頗為古老的數學把戲。最近又開始在網上流傳。不妨來看看這個神奇的結論是如何得到的。

在一個任意△ABC中，做A點的角平分線，交BC邊的垂直平分線A'O于點O。然后過O點分別做AB與AC邊上的垂線，垂足為C'和B'。

顯然△AC'O≌△AB'O，所以 AC' = AB'， C'O = B'O又因為 BO = CO， ∠OB'C = ∠OC'B所以△BOC'≌△COB'。 ?推得： C'B = B'CAB = AC'+ C'B = AB' + B'C = AC，即△ABC是等腰三角形。

正如前面所說，平面幾何的謬誤大多都是在有誤差的圖上做文章的。實際上，角平分線會與其相對的垂直平分線并不相交于三角形內，而是交于三角形外部。所以即使有AC'=AB'，BC'=B'C，我們也能一眼看出AB=AC'+AB'，AC=BC'-B'C。

圖里藏人

下面讓我們見識一下什么是“大變活人”。

先看兩排爺們的臉

把上面的圖從中間剪開，然后挪動成下圖那樣，怎么就少了一個人？

再看下面這張圖。

上圖僅僅通過兩個動作，剪切和互換，就讓人數在十二和十三之間變來變去，這是怎么回事？

眼尖的讀者或許已經發現了，這種精心的安排其實是移花接木。以“爺們臉”這幅圖為例（這幅圖較簡單），第一個人變成了圓下巴，第二個直接變成了雙下巴，第三個的鼻子變大了，第四個的鼻子變長了，第五個換了一個表情，多了眉毛。

因為整個圖的面積不變，但是臉個數少了一個，導致剩下的那些臉都變大了一些，其結果就是所有爺們個個是長臉。這種傳遞式的面積分配，很容易通過上色標記的辦法清晰地辨認出來。

而至于第二個圖，不得不說那是一個精妙無比的設計。不妨在圖片變動之前，對十二個人編號。

再看看移動之后的號碼變動情況，其中上身和下身都對應著各自的編號。

如果仔細看，便會發現移動之后1號小小地少了一撮頭發，10號的鞋底也被削了一層。他們各自都被從身體的某個部位切割下一點東西，活生生拼湊出了一個人。當畫面上出現13個人時，每個人都比出現12個時要矮 1／13。

兩幅圖的原理都是通過累積很多次細微尺寸的變化，最終改變圖中物品的數量。第一幅較為簡單，而第二幅用十二人切合成十三個，做了十二件事（從每個人身上“偷”一點），但卻只用了兩個動作！其精巧程度實在讓人佩服。

有趣的是，有一種古老的偽造錢幣的方法正是以這種原理為基礎的。按照上面的方法可以類似地把九張鈔票分成18份，重新安排成十張。但這樣偽造的鈔票很容易被偵破，不建議讀者采用。因為票面上特殊的兩個數字串，錢號在這種操作下已不相匹配。在所有的鈔票上，這兩個數字串都是位于相對的兩端，一高一低。這正是為了挫敗這種偽造企圖。

看似一樣的信息，不一樣的結果

一位母親有兩個孩子，有人問母親的朋友A，兩個孩子都是女孩嗎？這位朋友說：“我不清楚，但有一個是女孩”。母親的另一位朋友B說：“我上次去她家，看到一個女孩”。朋友A聽到，表示不屑：“這和我說的不是一樣的嗎”。

看起來這兩個信息沒有差別，但它們真的是等同的嗎？

答案是：不同的。由A給出的信息可以推出兩個孩子全是女孩的概率是1／3，而由B則是1／2。

讓我們仔細分析一番。根據A的敘述，我們知道“兩個小孩中有女孩”，而兩個小孩的性別組合有四種情況：男男，男女，女男和女女。因為知道了兩個小孩中有女孩，所以可以排除“男男”，兩個小孩都是女孩的概率便是1／3。

而B的陳述是看到一個孩子是女孩，問題實際上就轉化成了“另一個孩子是不是女孩”，因此兩個小孩都是女孩的概率是1／2。

為什么呢？這是因為在進行概率計算的時候，不確定的描述往往意味著更多的可能性。一個類似的例子是，打牌的的時候，如果有人說，“來打個賭吧，我現在有一張A，猜猜我還有沒有更多A？”這種情況下他很可能會輸，但如果他報出抓到的那張A的花色，“我現在有一張黑桃A，猜猜我還有沒有更多的A？”那結果就截然不同了。死理性派之前對此有過一個 詳細的分析 。前一種情況下，有更多A的概率是 37% ,而后一種有更多A的概率一下就躍升為 56% 。面對這樣反常的結果，不了解概率論的人，都會被嚇一跳。

類似這樣“想不通”的例子還有很多。比如著名的三門問題。換還是不換？這是一個讓無數人糾結的問題，據說很多人在看了詳盡的分析后，依然覺得有違常理，不能接受。

“最高IQ人類”的瑪麗蓮在當年公布自己的答案——換一扇門時，立刻引來巨大爭議，無數人覺得她回答錯了，并寫信“糾正”她，這些記錄都保留在它的個人網站上。就是直到今天，這個游戲依然困擾著不少人。

雙贏的賭局

甲和乙各自收到女朋友送的領帶。兩人見面開始爭論誰的更貴，最終決定打個賭，去商場調查，誰的領帶貴誰就算贏，?而贏的人要把領帶送給輸的人作安慰?。

甲認為他在這個賭局中輸贏是等概率的。如果贏了，那么失去的是自己戴的這條領帶。而如果輸了，則會得到一個更貴的領帶。所以這個賭局對他是有利的。

當然乙也可以這樣想。但問題是，打一次賭怎么會同時對雙方都有利呢？

這個著名的問題由法國數學家莫里斯?克萊特契克在他的《數學消遣》書中首先提出。他指出，要想這個游戲公平，必須限制條件。比如甲乙二人對對方女朋友的闊綽程度一無所知等。如果說甲的女朋友出手相對更闊綽些，那么甲的領帶就有較大的可能比乙的要貴，他就更傾向于輸掉這次打賭。

這個例子后來衍化成著名的錢包悖論，道具由領帶變為了錢包：由第三者計算甲、乙二君錢包里面的錢，錢少者可以贏走錢多者的錢。

實際上，甲、乙二人的錯誤在于，他們只根據“可以贏更多的錢”這點，就做出這場賭博對自己有利的結論。但這場賭博對誰有利，應該以誰可以“贏得這場賭博”而不是“可以贏更多的錢”來判斷。以賭誰錢包里錢少為例。

判斷誰有勝算，必須注意兩點：

? 必須計算期望值。

? 錢包里有多少錢是很隨機的。

所以正確的邏輯應為：

? 如果我的錢包里有較多的錢，那么我參加這個游戲，會輸掉較多的錢。

? 如果我的錢包里有較少的錢，那么我參加這個游戲，會贏得較多的錢。

這兩種情況的可能性是均等的。而且，由于總有一個人贏得另一個人輸掉有更多錢的錢包，這個游戲是均衡的。

所以它的結果應該是甲、乙各有一半的可能獲勝。也就是說，這個游戲是公平的 ，并不對哪一方有利。

作者：嚴酷的魔王

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