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數據與算法之美

2011年，美國波士頓地區的一種彩票 “Cash WinFal”爆出了一個存在已久的漏洞。讓人驚奇的是，一對 73 歲的夫婦已經利用這個漏洞賺了超過 600 萬美元 。一時間風雨滿城，馬薩諸塞州也宣布要開始調查這件事情。

這個已銷售多年的彩票究竟哪里出了問題？而對于彩票這樣一種幾乎是完全看運氣的游戲，又真的有穩賺不賠的方法嗎？那就來看看這對夫婦是怎么撿漏發大財的吧。

“Cash WinFal”彩票是怎么玩的？

這個叫做“Cash WinFal”的彩票游戲的 基本規則 很簡單，和國內常見的“ X 選 X ”類似：每注彩票的價格為 2 美元，包含 1 – 46 中 6 個不重復的正整數。在普通的開獎周期（通常為一個星期）中，中獎情況為：

選擇 2 個和開獎號碼相同的數字，贏 2 美元。選擇 3 個和開獎號碼相同的數字，贏 5 美元。選擇 4 個和開獎號碼相同的數字，贏 150 美元。選擇 5 個和開獎號碼相同的數字，贏 4,000 美元。當選擇的 6 個數字和開獎號碼完全相同時，則獲得頭獎（JACKPOT）。

頭獎是一個滾動的獎池，也就是說，頭獎的金額是不固定的，初始金額為 50 萬美元。如果某一期沒有人中頭獎，那么獎金將在下一次開獎時增加，增加的數量和銷售額有關，大約是這期銷售額的 60%。

如果連續數期都沒有人能中頭獎，經過這幾期的積累，頭獎（JACKPOT）金額會到達一個很龐大的數字，通常超過 200 萬美元。

這時候彩票的銷售商就會啟動一個特殊的開獎周期，這個周期被稱作“ROLLDOWN”。ROLLDOWN周期結束后，不管有沒有人贏得頭獎，頭獎的獎金都會重新變為 50 萬美元。

這個周期有另一個重大的變化，那就是小獎的獎金會相應地變高：

選擇 2 個和開獎號碼相同的數字，獎金仍然是 2 美元。選擇 3 個和開獎號碼相同的數字，贏 50美元。選擇 4 個和開獎號碼相同的數字，贏 1,500 美元。選擇 5 個和開獎號碼相同的數字，贏 40,000 美元。當 6 個數字和開獎號碼完全相同時，就能獲得至少 200 萬美元的超級大獎。

表面上看，這個規則非常合理和人性化：當由于無人能中頭獎導致獎金積累過多時，把獎金分配給其它小獎，讓大多數人受益。但就是這樣的一個規則，存在一個天大的漏洞，恰巧被那對夫婦發現，從而發了大財。

這個漏洞到底在哪里呢？

超級大獎背后的秘密

如果除去 ROLLDOWN，這個彩票和我們平時看到的彩票沒有任何區別。所以，問題一定出在ROLLDOWN上。

ROLLDOWN的特點是：最小的獎金和最大的獎金依然按照普通規則沒有變化，但是另外三個獎級的獎金和之前相比翻了 10 倍。

我們不妨分別算一下在普通規則和ROLLDOWN規則中中獎金額的期望。

對于最小的獎來說，要求獎券上的數字恰好有兩個號碼和開獎號碼相同。如果中了這個獎，說明獎券上有兩個號碼是 6 個開獎號碼之一，且有四個號碼是剩余 40 個沒有開出的號碼之一。

此時中獎的概率為：

此類推，我們還可以算出中其它幾個等級獎金的概率：

而除去這些中獎的情況，不中獎的概率為：

設某個普通的開獎周期中JACKPOT的獎金為 100 萬美元，此時每張彩票獲得獎金的期望為：

也就是說，彩票銷售商平均每張彩票可以賺到 1.20美元 。但是對于 ROLLDOWN 周期，按頭獎為 200 萬美元計，每張彩票的獎金期望就是：

此時購買彩票的人每張彩票平均可以賺得 2.46 美元！

對于每次只買一張或少數幾張彩票的彩民，這樣的改變其實沒有什么影響：購買一張彩票命中 3 個號碼或以上的概率實在太低，即使期望上升了，大部分此類彩民依然贏不到獎金。

但是對于那些留意到這個規律的“有心人”來說，事情就變得不一樣了。他們的做法是，在每個 ROLLDOWN 的周期，一口氣購買 10 萬美元以上的彩票。

這樣的購買行為就具有了統計學意義——此時可以用每張彩票的期望乘以彩票的數量來近似地表示他們獲得的利益：?以 10 萬美元計，每個 ROLLDOWN 周期他們平均能夠獲得 12.3 萬美元的獎金。

彩票銷售商在做什么？

既然有人可以用這個漏洞賺錢，那么一定有人因為這個漏洞而賠錢，很顯然賠錢的是彩票銷售商。

查閱資料可以發現，WinFal 從 2004 年 9 月 13 日開始銷售，前文提到的那對夫婦已經利用這個漏洞賺了 600 萬美元的獎金，順便提一句，他們不止自己因此“受益”多年，還開了博彩公司將此方式推廣，在今年五月的一個 ROLLDOWN 周期中，共開出 1605 個獎項，其中 1105 個獎項為這家博彩公司所得。

一般情況下，每年都會出現幾個 ROLLDOWN 周期。從 2004 年到 2011 年這么長的時間，為什么銷售商沒有發覺呢？

首先是因為在很大程度上，這個漏洞還沒有被普及。 從目前了解到的信息 來看，利用這個漏洞來賺錢的，也只有新聞中的這一對夫婦而已。調查以往的記錄可以發現，大約 20 個開獎周期中才會有一個ROLLDOWN周期。

另一方面，對彩票銷售商來說，其實也并沒有造成多大損失。這個彩票發售的區域馬薩諸塞州，這個州總共有 600 萬人，假設其中 10% 的人在參與這個彩票游戲，即 60 萬人，那么每個普通周期彩票銷售商的平均收入為 600,000 × 1.20 = 720,000 美元。這樣在每個 ROLLDOWN 周期的前 19 個周期，可以獲得的收入就是 720,000 × 19 = 13,680,000 美元。

而在ROLLDOWN周期，如果沒有這對夫婦的參與，銷售商也會賠 600,000 × 2.46 = 1,476,000 美元。相比之下，這對夫婦所賺走的只是一個零頭了罷了。

換句話說，在沒有“撿漏者”參與的情況下，WinFal 的彩票銷售商每 20 個周期可以賺得13,680,000 - 1,476,000 = 12,204,000 美元。

既然一直在賺錢，他們自然想不到這個彩票有漏洞了，更別說有人利用它發了財。

這是穩賺不賠的嗎？

不過要說的是，彩票是一個非常依賴運氣的游戲。即使找到了漏洞，這也不是一個穩賺不賠的交易——只要不能幾乎把所有可能的號碼都買光，就依然有賠錢的風險。

問題是這個風險有多大呢？

我們可以把這對夫婦在每次 ROLLDOWN 周期買的每一張彩票的凈利益作為一個隨機變量，這樣假設他們每次隨機地購買 10 萬美元的彩票（即 5 萬張），就可以獲得一系列隨機變量 X1、 X2、 …、 X50000，它們相互獨立且服從同一分布。

根據中心極限定理，我們可以知道，它們相加所得的隨機變量服從如下的正態分布：

經計算可知：

這樣，我們就能算出賠錢的概率為：

所以即使利用了這個漏洞，每次投入10 萬美元，仍然有 21.1% 的可能會賠錢。

不過一次性購買更多的彩票可以減少賠錢的可能性——如果一次購買 100 萬張彩票，賠錢的概率就僅剩 0.02%！

但是這需要許多的初始資金，而且如此大規模的動作也很容易就被發現，因此這對夫婦選擇的 10 萬美元應該是比較適當的購買額了，由此推斷，他們一定研究了很久，非常仔細地考慮了每個細節。

彩票——概率的游戲

在中國，體育彩票和福利彩票這兩大彩票是最廣為人知的。而它們的獎池金額都設有上限，這也是為了防止獲得獎金的期望大于 0 后出現漏洞。

而且，包括之前提到的 WinFal 在內，所有這些彩票的獎池金額累計都與銷售額有關。還有就是，如果有多個人同時中了大獎，獎金一般都會被平分。

這些在一定程度上，都防止了賠本情況的出現——獎池的資金來自銷售所得，銷售商總會留下一部分利潤，只是多少問題而已。 WinFal 出現的漏洞，其實正是因為盲目地提高了不被平分的小獎獎金導致的。

總而言之，無論什么彩票，都是一種概率的游戲。如果能掌握了其中的原理，并多多加以琢磨，發現其中的漏洞也不是什么難事。實際上確實存在許多博彩組織，專門尋找彩票中的這種漏洞，以此獲利。

由此看來，僅僅把彩票當做投機者的游戲，或許并不準確，很多概率學家也在虎視眈眈呢！

看來，數學學得好，才可以發現別人發現不了的掙錢良機。

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新聞來源： U.S. 73-year-old wife exploited by researchers in the calculation of Massachusetts 6 million employed

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總結

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