2019牛客暑期多校訓練營（第五場）C generator 2

思路

$$x_0=x_0$$

$$x_1=a?x_0?b$$

$$x_2=a?x_1+b=a^2?x_0+a?b+b$$

容易發現后項是一個等比數列求和

$$x_n=a^n{x}_0+\frac{b(1?a^n)}{1?a}$$

我們要求$x_n=v$，化簡

$$a^n{x}_0+\frac{b(1?a^n)}{1?a}=v$$

$$a^n{x}_0(1?a)+b(1?a^n)=v(1?a)$$

$$a^n(x_0?a{x}_0?b)=v(1?a)?b$$

$$a^n=\frac{v(1?a)?b}{x_0?a{x}_0?b}$$

上面式子都是$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$下的同余等式，為了方便寫了$=$

看到這里就簡單了，我們要求解的是$n$，顯然右邊這一坨都是已知的，我們假定為$B$，求解$a^n=B$，這不就是個裸題了嗎。

這道題目還要稍加分類討論一下：

• a == 0

$x_0=x_0,x_i=b(i>=1)$

• $a==1$

因為這種情況上面不能直接相除，所以我們需要特殊考慮$a_i=b+i?a$

也就是求解$i?a=v?b$，這個時候只要左右兩邊同時乘以$a$的逆元即可得到我們要的$i$

代碼

/*Author : lifehappy */ #pragma GCC optimize(2) #pragma GCC optimize(3) #include <bits/stdc++.h> #define mp make_pair #define pb push_back #define endl '\n'using namespace std;typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef pair<int, int> pii;const double pi = acos(-1.0); const double eps = 1e-7; const int inf = 0x3f3f3f3f;inline ll read() {ll f = 1, x = 0;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);c = getchar();}return f * x; }void print(ll x) {if(x < 10) {putchar(x + 48);return ;}print(x / 10);putchar(x % 10 + 48); }ll quick_pow(ll a, ll n, ll mod) {ll ans = 1;while(n) {if(n & 1) ans = (ans * a) % mod;a = (a * a) % mod;n >>= 1;}return ans; }int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);int T = read();while(T--) {ll n = read(), x0 = read(), a = read(), b = read(), p = read();ll x = 1, Unit = quick_pow(a, 1000, p);unordered_map<ll, int> MP;for(int i = 1; i <= 1000000; i++) {x = (x * Unit) % p;if(!MP.count(x)) {MP[x] = i * 1000;}}ll inv = quick_pow(((x0 - a * x0 - b) % p + p) % p, p - 2, p);int t = read();while(t--) {ll v = read();if(a == 0) {if(v % p == x0 % p) {puts("0");}else if(v % p == b % p) {puts("1");}else {puts("-1");}continue;}if(a == 1) {ll ans = (((((v - x0) % p + p) % p) * quick_pow(b, p - 2, p))) % p;if(ans < n) {printf("%lld\n", ans);}else {puts("-1");}continue;}v = (((v * (1 - a) - b) % p + p) % p * inv) % p;if(Unit == 0) {if(v == 0) {puts("0");}else {puts("-1");}continue;}x = v;int ans = p + 1;for(int i = 0; i <= 1000; i++) {if(MP.count(x)) {ans = min(ans, MP[x] - i);}x = (x * a) % p;}if(ans != p + 1 && ans < n) {printf("%d\n", ans);}else {puts("-1");}}}return 0; }

總結

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