摊还分析
攤還分析
1何為攤還分析？
攤還分析主要求解數據結構維護序列執行的所有操作的平均時間，來評價操作的代價，從而保證最壞情況下每個操作的平均性能。
2聚合分析
2.1何為聚合分析？
若長度為n的操作序列最壞情況下所花費時間為T(n)。
聚合分析狀態下，攤還代價C=T(n)/n。
2.2棧的時間復雜度分析
此時棧有3個操作：
1.PUSH（S,x）表示將對象x壓入棧中。
2.POP（S,x）表示從棧頂彈出一個元素（保證不會彈空）。
3.MULTIPOP（S,k）表示彈出棧頂的k個元素（保證不會彈空）。
試證明單次操作的攤還代價。
一次POP的最壞時間是O（n）的，那么n個操作的時間是否是O(n^2)的呢？
?
其實不然。
證明：事實上，每一個元素只入棧一次，出棧一次，而棧中最多存在n個元素，所以n次操作最壞只需要O(n)的時間。而每個操作的攤還代價C=O(n)/n=O(1)。
2.3單調隊列的時間復雜度分析
單調隊列也有兩個操作：
1.PUSH（que,x）表示在隊尾插入。
2.POP（que,k）表示在隊首彈出k個元素（保證不會彈空）。
試證明單次操作的攤還代價。
證明：每個元素依然只入隊一次，出隊一次，最多n個元素，最壞為O（n），每個操作的攤還代價C=O(n)/n=O(1)
3.核算法
3.1何為核算法？
我們進行攤還分析時，對每一個不同的操作賦予不同的費用，將賦予一個操作的費用稱為它的攤還代價。
每一次攤還代價超出實際代價時，就可以將多出的部分“儲存”起來，稱之為“信用”，它在以后的操作中可以“抵賬”。
?
但核算法應確保總攤還代價大于總真實代價的上界。如果用ci表示第i個操作的真實代價，?i表示第i個操作的攤還代價，要求
也就是
在保證信用非負的情況下，總攤還代價是總真實代價的上界。
?
3.2棧的核算法分析
還是剛才棧的例子。
它的每個操作的實際代價為：
PUSH ? ? ? ? ? ?1
POP ? ? ? ? ? ? ?1
MULTIPOP ? ?k
我們賦予每個操作這樣的攤還代價：
?
PUSH ? ? ? ? ? ?2
POP ? ? ? ? ? ? ?0
MULTIPOP ? ?0
可證明對于任意的操作序列，總攤還代價大于總實際代價。
就相當于每一次PUSH存入2元，1元當做PUSH的代價，還有1元當做將來彈出這個元素的代價。這樣可以保證信用永遠非負，之前PUSH多付出的攤還代價預支了以后POP需要的代價。所以在POP是可以當作沒有任何代價了。總攤還代價還是O(n)的。
3勢能法
3.1何為勢能法？
勢能法沒有將預支代價表示為特定操作的信用，而是表示為“勢能”，用勢能的釋放預支代價。勢能與整個數據結構對象相關聯，而非像核算法一樣和某個特定的操作代價相關聯。
我們將一個初始數據結構D0執行n個操作。對于每一個操作i，令ci為第i個操作的實際代價，令Di為數據結構Di-1上執行第i個操作所得到的結果數據結構。勢函數φ把每個數據結構表示為一個勢能大小。
?
攤還代價：?i=ci+φ（Di）-φ（Di-1）
每個操作的攤還代價為實際代價+勢能變化。
總攤還代價：
? ? ? （3.1.1）
需要定義φ使得φ(Dn)>=φ(D0)，那么總攤還代價會是總實際代價的上界，因此我們要求φ(Di)>=φ(D0)，一般把φ(D0)定義為0，只需要保證φ(Di)>=0即可。
3.2棧的勢能法分析
棧的操作同上。
我們設φ(Di)表示i次操作后棧中的元素數量s。
D0初始為空棧。φ(D0)初始為0.
1.對于PUSH（S,x），φ(Di)-φ(Di-1)=(s+1)-s=1。由公式（3.1.1）可得，?i=ci+φ(Di)-φ(Di-1)=1+1=2
2.對于MULTIPOP（S,k），φ(Di)-φ(Di-1)=(s-k)-s=-k。由公式（3.1.1）可得?i=ci+φ(Di)-φ(Di-1)=k-k=0
同理，POP的攤還代價也為0.
綜上所述，每個操作的攤還代價均為O（1），因此總攤還代價為O（n），此時必有φ(Di)>=φ(D0)。
4.動態表擴張
你需要完成對一個序列的插入，快速查詢操作。
簡單來說就是實現C++中的vector，為其尋找一個空間為O（n）的方法。
對于這個問題，我們的方法是：每次空間存滿，擴展兩倍空間，并復制原來空間的內容進入新的空間。
（1）.若使用聚合分析
ci=
1.當i-1=2^k，ci=i
2.當i-1!=2^k，ci=1
總代價為：
（2）.若通過核算法。
令每一次操作的?i=3。總攤還時間為3n。
（3）.若通過勢能法。
定義φ(Di)=2*T.num-T.size。
1.非擴張
?i=ci+φ(Di)-φ(Di-1)
? ?=1+（2*numi-sizei）-（2*numi-1-sizei-1）
? ?=1+（2*numi-sizei）-（2(numi-1)-sizei）
? ?=3
2.擴張
?
?i=ci+φ(Di)-φ(Di-1)
? ?=numi+（2*numi ?- ?sizei）-（2*numi-1 ? - ? sizei-1）
? ?=numi+（2*numi-2*（numi ? ?-1））-（2*（numi ? ?-1））-（numi ? ?-1）
? ? =numi+2（numi ? - 1）
? ? =3
總攤還代價為O(n)。
5.思考
如何求堆的攤還代價？
如何求AVL的攤還代價？
如何求splay的攤還代價？
6.參考文獻
算法導論
創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎總結
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