勤勞的一更

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• 題解
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題目

C國有 n個大城市和 m 條道路，每條道路連接這n個城市中的某兩個城市。任意兩個城市之間最多只有一條道路直接相連。這 m 條道路中有一部分為單向通行的道路，一部分為雙向通行的道路，雙向通行的道路在統計條數時也計為 1條。

C國幅員遼闊，各地的資源分布情況各不相同，這就導致了同一種商品在不同城市的價格不一定相同。但是，同一種商品在同一個城市的買入價和賣出價始終是相同的。

商人阿龍來到 C 國旅游。當他得知同一種商品在不同城市的價格可能會不同這一信息之后，便決定在旅游的同時，利用商品在不同城市中的差價賺回一點旅費。設 C 國 n 個城市的標號從 1~ n，阿龍決定從1號城市出發，并最終在 n 號城市結束自己的旅行。在旅游的過程中，任何城市可以重復經過多次，但不要求經過所有 n 個城市。阿龍通過這樣的貿易方式賺取旅費：他會選擇一個經過的城市買入他最喜歡的商品――水晶球，并在之后經過的另一個城市賣出這個水晶球，用賺取的差價當做旅費。由于阿龍主要是來 C 國旅游，他決定這個貿易只進行最多一次，當然，在賺不到差價的情況下他就無需進行貿易。

假設C國有C個大城市，城市的編號和道路連接情況如下圖，單向箭頭表示這條道路為單向通行，雙向箭頭表示這條道路為雙向通行。

假設 1~n號城市的水晶球價格分別為 4,3,5,6,1。

阿龍可以選擇如下一條線路：1->2->3->5，并在2號城市以 3 的價格買入水晶球，在 3號城市以 5的價格賣出水晶球，賺取的旅費數為 2。

阿龍也可以選擇如下一條線路 1->4->5->4->5，并在第1次到達 5號城市時以1的價格買入水晶球，在第 2次到達 4號城市時以 6的價格賣出水晶球，賺取的旅費數為5。

現在給出n個城市的水晶球價格，m 條道路的信息（每條道路所連接的兩個城市的編號以及該條道路的通行情況）。請你告訴阿龍，他最多能賺取多少旅費。

輸入格式
第一行包含 2 個正整數 n和 m，中間用一個空格隔開，分別表示城市的數目和道路的數目。
第二行 n 個正整數，每兩個整數之間用一個空格隔開，按標號順序分別表示這 n 個城市的商品價格。
接下來 m 行，每行有3個正整數x,y,z，每兩個整數之間用一個空格隔開。如果 z=1，表示這條道路是城市x到城市y之間的單向道路；如果 z=2，表示這條道路為城市x和城市 y之間的雙向道路。
輸出格式
一 個整數，表示最多能賺取的旅費。如果沒有進行貿易，則輸出 0。

輸入輸出樣例
輸入
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2
輸出
5
說明/提示
【數據范圍】
輸入數據保證1 號城市可以到達n號城市。
對于 10%的數據，1≤n≤6。
對于 30%的數據，1≤n≤100。
對于 50%的數據，不存在一條旅游路線，可以從一個城市出發，再回到這個城市。
對于 100%的數據，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市
水晶球價格≤100。

題解

這種題做的時候：
講完題解后：

首先可以知道，1是肯定能到達n的，那么就要在這多條路徑中選一條最優的
$Wmax?Wmin$，

那么考慮一個點x，如果它是答案路徑上的一點，就必須滿足1能走到x并且x還能走到n
1能走到x，通常就是用bfs（SPFA）就找到了
對于x能否走到n的話，就需要建反圖，從n倒著來找，看n能走到哪些點，
這樣在正圖中就代表著x能走到n

可以用SPFA正著，倒著跑一邊，
正著從1開始跑，跑到x就找這一路上的$Wmin$
意味著從1到x這一條路上買商品的最低價格
倒著從n開始跑，跑到x就找這一路上的$Wmax$
意味著從x到n這一條路上賣商品的最高價格

最后我們再$O(n)$掃一遍數組，找到這一個節點x，更新答案就可以了

代碼實現

#include <queue> #include <cstdio> #include <vector> #include <cstring> using namespace std; #define MAXN 100005 vector < int > G[MAXN], GG[MAXN]; queue < int > q; int n, m, result; int w[MAXN]; int dis1[MAXN], dis2[MAXN]; bool vis[MAXN];void SPFA1 () {vis[1] = 1;q.push ( 1 );while ( ! q.empty() ) {int t = q.front();q.pop();vis[t] = 0;for ( int i = 0;i < G[t].size();i ++ ) {int v = G[t][i];vis[v] = 0;if (dis1[v] > dis1[t] ) {dis1[v] = dis1[t];if ( ! vis[v] ) {vis[v] = 1;q.push ( v );}}if ( dis1[v] > w[v] ) {dis1[v] = w[v];if ( ! vis[v] ) {vis[v] = 1;q.push ( v );}}}} }void SPFA2 () {while ( ! q.empty() ) q.pop();q.push ( n );while ( ! q.empty() ) {int t = q.front();q.pop();vis[t] = 0;for ( int i = 0;i < GG[t].size();i ++ ) {int v = GG[t][i];if ( dis2[v] < dis2[t] ) {dis2[v] = dis2[t];if ( ! vis[v] ) {vis[v] = 1;q.push ( v );}}if ( dis2[v] < w[v] ) {dis2[v] = w[v];if ( ! vis[v] ) {vis[v] = 1;q.push ( v );}}}} }int main() {scanf ( "%d %d", &n, &m );for ( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf ( "%d", &w[i] );for ( int i = 1;i <= m;i ++ ) {int x, y, z;scanf ( "%d %d %d", &x, &y, &z );if ( z == 1 ) {G[x].push_back ( y );GG[y].push_back ( x );}else {G[x].push_back ( y );G[y].push_back ( x );GG[x].push_back ( y );GG[y].push_back ( x );}}memset ( dis1, 0x7f, sizeof ( dis1 ) );memset ( dis2, -1, sizeof ( dis2 ) );SPFA1 ();SPFA2 ();for ( int i = 1;i <= n;i ++ )if ( dis1[i] != 0x7f7f7f7f && dis2[i] != -1 )result = max ( result, dis2[i] - dis1[i] );printf ( "%d", result ); return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[NOIP 2009 提高组]最优贸易的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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