离散哈特莱变换(DHT)及快速哈特莱变换(FHT)学习
離散哈特萊變換(DHT)及快速哈特萊變換(FHT)學習
說在前邊
最近復習\(DSP\)的時候，發現了一個號稱專門針對離散實序列的變換，經分析總運算量為普通\(FFT\)的幾乎一半，而且完全沒有復數。這么強的嗎？于是花了一個下午，去學習了一下。。。于是去圖書館翻了幾乎所有的\(dsp\)課本。。。發現了這本書 西安電子科技大學出版社《數字信號處理》第二版！竟然花了一節在講\(DHT\)和\(FHT\)！竟然還有附錄FORTRAN代碼（雖然一堆錯）！這里把這個東西稍微普及一下。。。不過估計沒人用的上
離散哈特萊變換(DHT)
引入
對于序列\(x(n)\)其\(N\)點\(DFT\)具有簡單的共軛對稱性，即\[X(N - k) = X^*(k), k = 0, 1 ... ,N-1 \]
所以只要計算\(X(k)\)的前\(N/2\)個值，則后\(N/2\)可以通過上式求得，\(X(k)\)的\(N/2\)個復數正好對應\(N\)個實數數據(\(N\)點實序列\(DFT\)，也可以通過把\(N\)個實數，壓成\(N/2\)個復數，再利用共軛對稱性求解，這里不做詳解)。由此可見，一個\(N\)點實序列的\(DFT\)，完全可由\(N\)個實數數據確定。由此，我們引出一種直接對于實序列進行實數域變換的離散哈特萊變換(\(DHT\))。\(DHT\)將\(x(n)\)看成實數數據，而不是像\(DFT\)一樣看作虛部為\(0\)的復數，因此節省了一半的空間，運算效率也提升了近一倍，且\(DFT\)與\(DHT\)之間存在簡單的關系，容易實現相互轉換。
預備知識
定義
設\(x(n), n = 0, 1,..., N-1\)，為一實序列，其\(DHT\)定義為
\[ X_H(k) = DHT[ x(n)] = \sum _{n=0}^{N-1} x(n)cas(\frac{2\pi}{N}kn), k = 0,1, ... , N-1 \]
式中\(cas(a) = cos(a) + sin(a)\)逆變換(\(IDHT\))為
\[ x(n) = DHT[ X_H(k)] = \frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1} X(k)cas(\frac{2\pi}{N}kn), n = 0,1, ... , N-1 \]
\(DHT\)的正交證明：
\[ \sum_{k=0}^{N-1} cas(\frac{2\pi}{N}kn)cas(\frac{2\pi}{N}km) = \sum_{k=0}^{N-1}[cos(\frac{2\pi}{N}k(n-m)) + sin(\frac{2\pi}{N}k(n+m))] = \left\{\begin{array}{cc} N, & k = 0\\ 0, & k \neq 0 \\ \end{array}\right. \]
DHT與DFT的關系
用\(X(k)\)表示實序列\(x(n)\)的\(DFT\)，用\(X_H(k)\)表示\(x(n)\)的\(DHT\)，分別用\(X_{He}(k)\)， \(X_{Ho}(k)\)表示\(X_H(k)\)的偶對稱分量與奇對稱分量，即
\[ X_H(k) = X_{He}(k) + X_{Ho}(k) \]
其中
\[ X_{He}(k) = \frac{1}{2}[X_H(k) + X_H(N-k)]\\ X_{Ho}(k) = \frac{1}{2}[X_H(k) - X_H(N-k)]\\ X(k) = X_{He}(k) - jX_{Ho}(k)\\ X_H(k) = Re[X(k)] - Im[X(k)]\\ X(k) = \frac{1}{2}[X_H(k)+X_H(N-k)] - \frac{1}{2}j[X_H(k)-X_H(N-k)] \]
利用上面這些性質，我們可以很容易的將\(DFT\)與\(DHT\)進行變換，并且又因為這個原因\(X_H(k)\)的周期為\(N\)(隱含周期性)。
DHT的優點
DHT的性質
若\(x_1(n) \leftrightarrow X_{1H}(k), ~~x_2(n) \leftrightarrow X_{2H}(k)\)則
\[ x_1(n) \otimes x_2(n) \leftrightarrow X_{2H}(k)X_{1He}(k) + X_{2H}(N-k)X_{1Ho}(k) \]
或
\[ x_1(n) \otimes x_1(n) \leftrightarrow X_{1H}(k)X_{2He}(k) + X_{1H}(N-k)X_{2Ho}(k) \]
值得注意的是，相比于\(DFT\)的卷積定理，\(DHT\)的運算更加復雜，這一點把這個算法的在競賽中的實用性大大降低了。。。畢竟我們就是為了加速卷積，不過他空間上的優勢還是很名明顯的。
快速哈特萊變換(FHT)
基2 DIT-FHT算法
與\(FFT\)算法一樣，\(FHT\)也可以，用基\(4\),基\(8\)，分裂基等方式優化，這里我們討論最基礎的基\(2\) 快速\(DHT\)算法。
\(x(n)\)的\(N=2^M\)點\(DHT\)：
\[ X_H(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)cas(\frac{2\pi}{N}kn) \]
對\(x(n)\)進行奇偶抽取
\[ x_0(r) = x(2r)\\ x_1(r) = x(2r+1) \]
帶入后，與\(DFT\)比較可得，\(cas(\frac{2\pi}{N}k(2r+1))\)不是指數函數，所以我們通過
\[ cas(a + b) = cas(a)cas(b) + cas(-a)sin(b) \]
推導可得：
\[ X_H(k) = \sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1} x_0(r)cas(\frac{2\pi}{N/2}rk) + cos(\frac{2\pi}{N}k)\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x_1(r)cas(\frac{N}{2}rk) \\ + sin(\frac{2\pi}{N}k)\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x_1(r)cas(-\frac{2\pi}{N/2}rk) \]
令\(X_{0H}(k) = DHT[x_0(n)]\)，\(X_{1H}(k) = DHT[x_1(n)]\)，可以寫成：
\[ X_H(k) = X_{0H}(k) + cos(\frac{2\pi}{N}k)X_{1H}(k)+sin(\frac{2\pi}{N}k)X_{1H}(\frac{N}{2}-1) \]
相比于\(DIT-DFT\)該式中，多了一項\(X_{1H}(\frac{N}{2}-k)\)。所以可用\(X_{0H}(k)\),\(X_{1H}(k)\),\(X_{0H}(\frac{N}{2}-k)\),\(X_{0H}(\frac{N}{2}+k)\)四個點同址計算出\(X_{H}(k)\),\(X_{H}(\frac{N}{2}+k)\),\(X_{H}(\frac{N}{2}-k)\),\(X_{H}(N-k)\)，與\(FFT\)中的蝶形運算類似，我們叫這種運算“哈特萊蝶形”
令\(C(k)=cos(\frac{2\pi}{N}k)\),\(S(k)=sin(\frac{2\pi}{N}k)\),當\(N \geq 8\)時，有
\[ X_H(k) = X_{0H}(k) + [C(k)X_{1H}(k)+S(k)X_{1H}(\frac{N}{2}-k)]\\ X_H(\frac{N}{2}+k) = X_{0H}(k) - [C(k)X_{1H}(k)+S(k)X_{1H}(\frac{N}{2}-k)]\\ X_H(\frac{N}{2}-k) = X_{0H}(\frac{N}{2}-k) - [S(k)X_{1H}(k)-C(k)X_{1H}(\frac{N}{2}-k)]\\ X_H(N-k) = X_{0H}(\frac{N}{2}-k) - [S(k)X_{1H}(k)-C(k)X_{1H}(\frac{N}{2}-k)] \]
信號流圖
基2 DIT-FHT的運算量(只考慮蝶形變換)
\(N = 2^M\)
乘法次數：\(NM - 3N + 4\)
加法次數：$ \frac{3}{2}NM - \frac{3}{2}N + 2$
應用
利用\(FHT\)以及循環卷積定理，與DFT類似，我們就可以通過循換卷積來求出兩個實序列的線性卷積。
代碼 [UR#34]多項式乘法
#include <cstdio> #include <cmath> #include <algorithm> #define DXT(X,Y) ( XT = (X) , X = ((XT) + (Y)) , Y = ((XT) - (Y)) ) using namespace std;int N1 , N2 , N4 , L1 , L2 , L3 , L4, n , m , rev[2000001]; double XT , A , E , CC1 , SS1 , T1 , T2 , a[2000001] , b[2000001] , c[2000001];void FHT( double X[] , int N , int M ) {for(int i = 0 ; i < N ; ++i) if(i < rev[i]) swap(X[i] , X[rev[i]]);for(int i = 0 ; i < N ; i += 2) DXT(X[i] , X[i+1]);N2 = 1; --M;if(M <= 0) return;while( M-- ) {N4 = N2 , N2 = N4 + N4 , N1 = N2 + N2;E = 6.283185307179586 / N1;for(int j = 0 ; j < N ; j += N1) {L2 = j + N2 , L3 = j + N4 , L4 = L2 + N4;DXT(X[j] , X[L2]) , DXT(X[L3] , X[L4]) , A = E;for(int i = 1 ; i < N4 ; ++i , A += E) {L1 = j + i , L2 = j - i + N2;L3 = L1 + N2 , L4 = L2 + N2;CC1 = cos(A) , SS1 = sin(A);T1 = X[L3] * CC1 + X[L4] * SS1;T2 = X[L3] * SS1 - X[L4] * CC1;XT = X[L1] , X[L1] = XT + T1 , X[L3] = XT - T1;XT = X[L2] , X[L2] = XT + T2 , X[L4] = XT - T2;}}} }int main() {scanf("%d%d" , &n , &m);for(int x , i = 0 ; i <= n ; ++i) scanf("%d" , &x) , a[i] = (double)x;for(int x , i = 0 ; i <= m ; ++i) scanf("%d" , &x) , b[i] = (double)x;int nn = n + m + 1 , L = 0 , tmp;for(tmp = 1 ; tmp < nn ; tmp <<= 1, ++L) ; nn = tmp;for(int i = 0 ; i < nn ; ++i)rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1 ) | ((i & 1) << (L - 1));FHT(a , nn , L); FHT(b , nn , L);c[0] = b[0] * a[0];for(int i = 1; i < nn; ++i) {T1 = a[i] , T2 = a[nn - i];c[i] = (b[i] * (T1 + T2) + b[nn - i] * (T1 - T2)) * 0.5;}FHT(c , nn , L);for(int i = 0 ; i <= n + m ; ++i) c[i] /= nn;for(int i = 0 ; i <= n + m ; ++i) printf("%d " , (int)(c[i] + 0.5));return 0; }這份代碼比我想像的要慢好多，主要原因是循環卷積定理里面運算的增多，以及蝶形變化中較為麻煩的計算四個位置，還有每次使用\(cosA\)和\(sinA\)都是很大的開銷，曾經嘗試使用乘法代替每次計算\(cos\)和\(sin\)但是點數\(N\)很大時，精度問題會被放大的很嚴重，另一個原因是我不會卡常...但是內存上看起來還是比較優秀的，拜托善于優化的同學優化一下，或者有更好的實現的話，也請告訴我。。。不過看起來還是沒人會用啊。。。法法塔的歷史地位還是很難被替代的吧。。。改日會補上信號流圖。～掰掰
轉載于:https://www.cnblogs.com/RRRR-wys/p/10090007.html
總結
以上是生活随笔為你收集整理的离散哈特莱变换(DHT)及快速哈特莱变换(FHT)学习的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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