Kolmogorov 的数学观与业绩
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作者:伊藤清?
當(dāng)我得知蘇聯(lián)偉大的數(shù)學(xué)家,84歲的 Andreyii Nikolaevich Kolmogorov 教授于1987年10月20日離開(kāi)人世時(shí),我感到像是失去了支柱那樣悲哀與孤寂。在我還是學(xué)生時(shí)(1937年)讀了他的名著《概率論的基本概念》之后,便立志鉆研概率論,并持續(xù)了50年之久。對(duì)于我來(lái)說(shuō),Kolmogorov 就是我的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。?
我與 Kolmogorov 教授僅會(huì)過(guò) 3 次面。第一次是1962年國(guó)際數(shù)學(xué)家會(huì)議 (Stockholm) 時(shí),開(kāi)幕式前我在大廳里漫步。當(dāng)聽(tīng)見(jiàn)「Ito ? Kolmogorov.」的親切的招呼聲時(shí),我又驚又喜。他用德語(yǔ)問(wèn)到「你多大年齡?」我答道:「Seiben und vierzig.」他再問(wèn):「DreiBig?」(三十幾?)大概日本人都顯得年輕,我也許被看得年輕了10歲。又過(guò)了二三日,H. Cramer 教授(全瑞典的大學(xué)校長(zhǎng) (Chancelor),概率論、解析數(shù)論的專家)在家里舉行了晚餐會(huì),招待出席會(huì)議的大約10名有關(guān)概率方面的學(xué)者。Kolmogorov, J.L. Doob 與我都在其中。?
第二次是1978年,在參加了國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì) (Helsinki) 之后,又出席了概率統(tǒng)計(jì)國(guó)際學(xué)術(shù)討論會(huì) (Vilnius, Lihtuania, USSR),回國(guó)途中,路經(jīng)莫斯科時(shí),Kolmogorov 招待 Varadhan (NYU)、 Prokhorov(蘇聯(lián)科學(xué)院)和我在克里姆林宮旁的一座高雅的餐廳吃了午餐。當(dāng)時(shí)已聽(tīng)說(shuō) Kolomogorov 對(duì)高中的數(shù)學(xué)教育很熱心,招收了一些優(yōu)秀的學(xué)生,親自開(kāi)課教授。我便詢問(wèn)了其內(nèi)容,他舉例說(shuō):比如向?qū)W生展示簡(jiǎn)單的向量場(chǎng)(速度場(chǎng))的圖,并要求他們畫(huà)出積分曲線(軌);又如讓學(xué)生考慮具體的分枝過(guò)程的問(wèn)題等等,以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀能力。?
第三次是在 Tbilisi (Georgia, USSR, 1983) 召開(kāi)的日蘇概率統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)討論會(huì)上。當(dāng)時(shí),僅管他的健康狀況不大好,仍然作了講演,并在宴會(huì)上努力創(chuàng)造活躍的氣氛。顯然年輕的一代是很崇敬他的。?
Kolmogorov 在數(shù)學(xué)的幾乎所有領(lǐng)域中,都提出了獨(dú)創(chuàng)的思想,導(dǎo)入了嶄新的方法,他的業(yè)績(jī)是非常輝煌的。然而,我見(jiàn)到他時(shí)給我留下的印象卻是不修邊幅的溫厚的君子形象,這也許正是偉大數(shù)學(xué)家的形象吧。?
Kolmogorov 的論文我自認(rèn)為基本上都好好地讀過(guò)了,在撰寫(xiě)本稿時(shí),我又對(duì)他整個(gè)的研究成果做了一個(gè)直接或間接的調(diào)查。對(duì)其研究的廣度和深度不得不嘆服。由于時(shí)間和篇幅的限制,我僅向讀者談一些并不全面的自己的感受。?
吉澤尚明(京都大學(xué))、池田信行(大阪大學(xué))二位教授及京都大學(xué)數(shù)理研圖書(shū)室的各位幫助我查找了資料,在此我表示衷心的感謝。?
Kolmogorov 簡(jiǎn)歷?
根據(jù) B. V. Gnedenko 在 Kolmogorov 70 壽辰時(shí)的講演, Kolmogorov 于1903年誕生于俄羅斯的村鎮(zhèn)(現(xiàn)在為市)Tambov。父親是農(nóng)學(xué)家,母親在生下 Kolmogorov 后不久便離開(kāi)人世,他是被叔母等撫養(yǎng)長(zhǎng)大的。1920年(17歲)進(jìn)入莫斯科大學(xué)之前,他當(dāng)過(guò)列車(chē)上的乘務(wù)員,業(yè)余時(shí)間寫(xiě)了關(guān)于牛頓力學(xué)定律的論文,論文的原稿未能保存下來(lái),但我們可以想象他是多么早熟的天才。那時(shí),俄國(guó)革命(1917)已經(jīng)爆發(fā),我很想知道他當(dāng)時(shí)所處的環(huán)境,很遺憾沒(méi)有有關(guān)的資料。?
1920年進(jìn)入莫斯科大學(xué),最初對(duì)俄國(guó)的歷史感興趣,還調(diào)查了15~16世紀(jì)的諾布哥羅德的財(cái)產(chǎn)登記。以后參加了 V.V. Stepanov 的傅里葉級(jí)數(shù)(三角級(jí)數(shù))討論班,并于1922年(19歲)寫(xiě)出了關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù),解析集合的著名論文,震動(dòng)了學(xué)術(shù)界。其后猶如天馬行空,連續(xù)發(fā)表了許多重要的研究成果。1925年莫斯科大學(xué)畢業(yè),1931年當(dāng)大學(xué)教授,1933年任大學(xué)數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng),1937年成為蘇聯(lián)科學(xué)院院士。至1987年逝世止,對(duì)數(shù)學(xué)的研究教育作出了很多重大的貢獻(xiàn)。?
Kolmogorov 的數(shù)學(xué)觀?
了解 Kolmogorov 的數(shù)學(xué)觀的最好的資料,大概要屬蘇聯(lián)大百科辭典中他所執(zhí)筆的「數(shù)學(xué)」部分吧。已經(jīng)出了英文版,我讀了英文版,與原文(俄語(yǔ))比較,英文版稍微縮略了一些,在這篇文章中,他先闡述了其數(shù)學(xué)觀,然后通述了自古至今的數(shù)學(xué)史,并且從他的數(shù)學(xué)觀出發(fā),詳細(xì)描述了這個(gè)歷史的各個(gè)階段,它可以說(shuō)是為數(shù)學(xué)家、科學(xué)家們所寫(xiě)的數(shù)學(xué)史。我饒有興趣地一口氣讀完了全篇。要說(shuō)明 Kolmogorov 的數(shù)學(xué)觀,不僅應(yīng)當(dāng)看這篇文章的開(kāi)始部分,也應(yīng)當(dāng)參照占該文大部分的數(shù)學(xué)史,但由于篇幅及時(shí)問(wèn)的限制,我僅將文章的開(kāi)始部分簡(jiǎn)要介紹如下。?
根據(jù) Kolmogorov的觀點(diǎn),數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。?
(1)因此數(shù)學(xué)的研究對(duì)像是產(chǎn)生于現(xiàn)實(shí)中的。然而作為數(shù)學(xué)加以研究時(shí),必須離開(kāi)現(xiàn)實(shí)的素材(數(shù)學(xué)的抽象性)。?
(2)但是,數(shù)學(xué)的抽象性并不意味著完全脫離于現(xiàn)實(shí)素材。需要用數(shù)學(xué)加以研究的數(shù)量關(guān)系與空間形式的種類,應(yīng)科學(xué)技術(shù)的要求,是不斷增加著的。因此上面定義的數(shù)學(xué)內(nèi)容在不斷地得到豐富。?
數(shù)學(xué)與諸科學(xué):數(shù)學(xué)的應(yīng)用是多種多樣的,從原理上講,數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用范圍是無(wú)邊際的,即物質(zhì)的所有類型的運(yùn)動(dòng)都可以用數(shù)學(xué)加以研究。但是數(shù)學(xué)方法的作用與意義在不同情況下是不同的。用單一的模式來(lái)包羅現(xiàn)象的所有側(cè)面是不可能的。認(rèn)識(shí)具體的東西(現(xiàn)象)的過(guò)程中總是具有下面兩個(gè)互相纏繞的傾向。?
(1)僅將研究對(duì)象(現(xiàn)象)的形式分離出來(lái),對(duì)這個(gè)形式作邏輯上的解析。?
(2)弄清與已經(jīng)確立的形式所不相符的「現(xiàn)象的方面」,向具有更多的可塑性,更能完整地包含「現(xiàn)象」的新的形式轉(zhuǎn)化。?
如果在研究的過(guò)程中必須時(shí)刻考察現(xiàn)象的本質(zhì)上新的側(cè)面,因而研究中的困難主要體現(xiàn)在上面的(2)的話。這樣的現(xiàn)象的研究(如生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、人文科學(xué)等)中,數(shù)學(xué)方法就不是主要的。在這種時(shí)候,對(duì)現(xiàn)象的所有方面的辨證分析會(huì)由于數(shù)學(xué)形式反而變得含糊。?
與此相反,如果用比較簡(jiǎn)單的、穩(wěn)定的某種形式便可以把握研究對(duì)象(現(xiàn)象),并且在這個(gè)形式的范圍內(nèi)產(chǎn)生了在數(shù)學(xué)上需要加以特殊研究(特別是需要?jiǎng)?chuàng)造新的記號(hào)和計(jì)算法)的困難而復(fù)雜的問(wèn)題時(shí),這種現(xiàn)象的研究(如物理學(xué))則在數(shù)學(xué)方法的支配圈內(nèi)。?
做了這些一般性的論述后,首先詳細(xì)說(shuō)明了行星運(yùn)動(dòng)完全是在數(shù)學(xué)方法的支配圈內(nèi),在這里數(shù)學(xué)形式是對(duì)于有限質(zhì)點(diǎn)系的牛頓的常微分方程。?
從力學(xué)轉(zhuǎn)向物理學(xué),數(shù)學(xué)方法的作用幾乎不減,但應(yīng)用中的困難明顯增加。在物理學(xué)中,幾乎沒(méi)有不必使用高級(jí)數(shù)學(xué)技術(shù)(如偏微分方程理論、泛函分析)的領(lǐng)域。但是研究中出現(xiàn)的困難往往不在于數(shù)學(xué)理論的推導(dǎo)過(guò)程中,而在于「為運(yùn)用數(shù)學(xué)所作的假設(shè)的選擇」和「由數(shù)學(xué)手段所得結(jié)果的解釋」中。?
數(shù)學(xué)方法具有包含從考察的某個(gè)水平開(kāi)始,向更高的、本質(zhì)上新的水平轉(zhuǎn)移這樣一個(gè)過(guò)程的能力。這種例子在物理理論中是可以見(jiàn)到許多的:擴(kuò)散現(xiàn)象便是一個(gè)古典的好例子。從擴(kuò)散的宏觀理論(拋物型偏微分方程)向更高的微觀水平的理論(用獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述溶液中粒子隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)力學(xué))轉(zhuǎn)移,從后者出發(fā)運(yùn)用大數(shù)定律,可導(dǎo)出把握前者的微分方程, Kolmogorov 對(duì)此種情形作了更加詳細(xì)具體的說(shuō)明。?
同物理學(xué)相比,在生物學(xué)中數(shù)學(xué)更處于從屬地位。在經(jīng)濟(jì)學(xué)和人文科學(xué)中的,這種情況就更加突出了,在生物學(xué)和杜會(huì)科學(xué)中數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用主要是以控制論的形式進(jìn)行的。在這些學(xué)科中,數(shù)學(xué)的重要性以輔助科學(xué)──數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的形式保留幾分,但在杜會(huì)現(xiàn)象的精確分析中,各個(gè)歷史階段中的本質(zhì)性差異的側(cè)面是占主導(dǎo)地位的,因而數(shù)學(xué)方法常常要靠邊站。?
數(shù)學(xué)與技術(shù)、算術(shù)、初等幾何的原理,正像古代數(shù)學(xué)史所表明的那樣,是從日常生活的需要中產(chǎn)生的。其后的新的數(shù)學(xué)方法或思想也是受到天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)等滿足實(shí)際需要的學(xué)科的影響而產(chǎn)生的,但是數(shù)學(xué)與技術(shù)(工程學(xué))的直接聯(lián)系至今常常是通過(guò)已有的數(shù)學(xué)理論在技術(shù)中的應(yīng)用這樣一個(gè)形式來(lái)實(shí)現(xiàn)的。當(dāng)然還須指出,根據(jù)技術(shù)上的要求而直接產(chǎn)生新數(shù)學(xué)的一般理論這種例子也是有的〔例如,最小二乘法(測(cè)地),操作數(shù)法(電氣工程)。作為概率論的新分支的信息論(通信工程),數(shù)理邏輯學(xué)的新分支,微分方程的近似解法,數(shù)值解法等〕。?
高度的數(shù)學(xué)理論使得計(jì)算器科學(xué)的方法急速地發(fā)展起來(lái)。而計(jì)算器科學(xué)在解決原子能利用,宇宙開(kāi)發(fā)中的問(wèn)題等大量的實(shí)際問(wèn)題時(shí)扮演了主要的角色。?
Kolmnogorov 在后面的數(shù)學(xué)史的敘述中也總是注重?cái)?shù)學(xué)與其它諸學(xué)科的關(guān)聯(lián),同時(shí)也高度評(píng)價(jià)了由于數(shù)學(xué)內(nèi)部的要求而推動(dòng)的純數(shù)學(xué)的發(fā)展。例如,在實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用這方面,古代希臘要落后于巴比倫,然而在數(shù)學(xué)的理論方面,希臘遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先于巴比倫。他尤其贊頌了「存在無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù)」、「等腰直角三角形的斜邊與另一邊之間不存在公約數(shù)」等偉大發(fā)現(xiàn)。按著他詳細(xì)說(shuō)明了實(shí)際主義的巴比倫數(shù)學(xué)與理想主義的希臘數(shù)學(xué)是如何經(jīng)過(guò)中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué),發(fā)展至歐洲的近代數(shù)學(xué)的過(guò)程,非常有趣。我從這個(gè)歷史中學(xué)到了許多史實(shí)。例如,我以前知道變換群這個(gè)概念是在18世紀(jì)后半葉至19世紀(jì)初,由 Lagrange(分析)、 Galois(方程式論)等有效地使用了的。但我還想知道現(xiàn)在大學(xué)里講授的(抽象)群的定義到底是由誰(shuí)給出的。根據(jù) Kolmogorov 的數(shù)學(xué)史,這個(gè)定義是由 A. Cayley 在19世紀(jì)中葉所給出的。?
總之,Kolmogorov 的數(shù)學(xué)觀是由他的數(shù)學(xué)上的獨(dú)創(chuàng)性,對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用所抱有的激情及對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史所具有的洞察。這幾個(gè)方面所組成的,難以用一言來(lái)概之。如果一定要用一句話來(lái)總結(jié),也許可以這樣說(shuō): Kolmogorov把數(shù)學(xué)看成為可以無(wú)限制地成長(zhǎng)的「生物體」。?
Kolmogorov 的數(shù)學(xué)業(yè)績(jī)?
Kolmogorov 寫(xiě)了上百篇論文,從中可以看出其特點(diǎn)是:「廣泛的研究領(lǐng)域」、「引入新觀點(diǎn)的獨(dú)創(chuàng)性」及「明快的敘述」,其研究領(lǐng)域包括實(shí)變函數(shù)論、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論、拓?fù)淇臻g論、泛函分析、概率論、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、信息論等多個(gè)分支。下面結(jié)合背景概述一下這些研究。?
實(shí)變函數(shù)論?
Kolmogorov 在莫斯科大學(xué)讀書(shū)時(shí)參加了 Stepanov 的傅里葉級(jí)數(shù)討論班,從那時(shí)(1921)開(kāi)始,他對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了與趣。當(dāng)時(shí),主要研究連續(xù)函數(shù)的微積分學(xué)正在向研究可測(cè)函數(shù)的實(shí)變函數(shù)論發(fā)展。這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域受到了極大的關(guān)注。Kolmogorov 于1922年(19歲)時(shí),通過(guò)引入 集合演算,證明瞭包含「Borel 不可測(cè)解析集合的存在定理 (Suslin)」的新的定理。同年,他還成功地研究了「(形式上)傅里葉級(jí)數(shù)在幾乎所有點(diǎn)上(以后又研究了所有點(diǎn)上)發(fā)散的上的可積函數(shù)的構(gòu)成」。這些結(jié)果作為論文分別發(fā)表在《Mat. Sbornik》,1925及《Fund. Math.》,1923 (Doklady, 1925)。關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)、直交函數(shù)的展開(kāi),他也寫(xiě)了幾篇論文。他還嘗試了 Lebesgue 積分的推廣,涉及了 Denjoy 積分的研究。這些大體上是1930年以前的研究工作。?
概率論基礎(chǔ)?
Kolmogorov 在概率論力面的一大功績(jī)是用測(cè)度論的語(yǔ)言將概率論確立為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)領(lǐng)域。以往對(duì)偶然事件、偶然量未加定義而使用。Kolmogorov 看出了概率與測(cè)度的同構(gòu)型,在概率測(cè)度空間 (Ω,F,P) 上,分別將偶然事件定義為Ω的 F-可測(cè)子集,偶然事件的概率定義為這個(gè)子集的 P-測(cè)度,偶然量定義為Ω上的 F-可測(cè)函數(shù),其平均值由積分定義。這樣,概率論的理論展開(kāi)就變得明確而容易了。?
如此將概率作為測(cè)度來(lái)把握的方法,對(duì)于特殊問(wèn)題 E. Borel(上例),N. Wiener(布朗運(yùn)動(dòng))已經(jīng)做過(guò)嘗試。但用這個(gè)方法來(lái)對(duì)待所有問(wèn)題的是 Kolmogorov 的《概率論的基本概念》。而 Kolmogorov 證明瞭在這種情況下有目的地構(gòu)造出 P 的定理,這就是著名的 Kolmogorov 的擴(kuò)張定理。?
過(guò)去作為具體的測(cè)度一般僅考慮 Lebesgue-Stieltjes 測(cè)度和 Lie 群上的不變測(cè)度。由于 Kolmogorov 的測(cè)度論式的概率論,新型的概率測(cè)度及有關(guān)的新問(wèn)題在對(duì)偶然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)研究中不斷地產(chǎn)生了出來(lái)。?
概率論?
Kolmogorov 受到 A.Y.Khinchin 的影響, 1925年前后開(kāi)始研究獨(dú)立隨機(jī)變量的級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題及發(fā)散時(shí)的階數(shù)。按著研究了 Wiener 過(guò)程,在這些研究中,Kolmogorov 引入了幾個(gè)新的思想和方法,Kolmogorov 0-1 律、Kolmogorov 不等式,Khinchin-Kolmogorov 三級(jí)數(shù)定理,Kolmogorov 強(qiáng)大數(shù)律,Kolmogorov 判別法,Kolmogorov 譜(湍流)等是特別著名的。1939年他還將弱平穩(wěn)過(guò)程的內(nèi)插、外推問(wèn)題歸結(jié)為傅里葉分析的問(wèn)題而一舉解決。?
Kolmogorov 還將動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分為決定論的(古典的)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和概率論的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(馬爾可夫過(guò)程),描述前者軌道的是常微分方程,而決定后者轉(zhuǎn)移概率的是拋物型偏微分方程,即 Kolmogorov 引入的向前方程序和向后方程式(〈關(guān)于概率論中的分析方法〉, Math. Ann. 1931)。在那以前,概率論(泛函分析)也開(kāi)始得到應(yīng)用,概率論的內(nèi)容變得極其豐富起來(lái)。 50年代的馬爾可夫過(guò)程的顯著發(fā)展的源泉就是Kolmogorov 的這個(gè)研究。我從 Kolmogorov 的這篇論文的序言中的思想得到啟發(fā),引入了表現(xiàn)馬爾可夫過(guò)程的軌道的隨機(jī)微分方程式。這也決定了我以后的研究的方向。Kolmogorov的「基本概念」和「分析方法」。對(duì)我來(lái)說(shuō)可謂至寶。?
數(shù)理統(tǒng)計(jì)?
在日本很遺憾概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之間的交流不太活躍,而 Kolmogorov 等蘇聯(lián)的概率論專家是非常重視二者的關(guān)系的。概率論是以概率空間為基礎(chǔ)的,在應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的時(shí)候,需要考慮若干概率空間,然后決定哪個(gè)是最適合于實(shí)際問(wèn)題的概率模式。這個(gè)決定可以說(shuō)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)目的。Kolmogorov 也寫(xiě)了不少數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的論文。在非參數(shù)檢驗(yàn)法中用到的 Kolmogorov-Smirnov 定理是很有名的。?
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論?
Kolmogorov 從年輕時(shí)起,就對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論,特別是 Brouwer 的直觀主義(有限立場(chǎng))有著濃厚的興趣(例如《Math. Zeit.》, 35 (1932), 58-65),關(guān)于算法也作了研究。?
拓樸空間論函數(shù)空間論?
Kolmogorov 和 J.W. Alexander 共同開(kāi)創(chuàng)了上同調(diào)理論,這是眾所周知的。Kolmogorov 還是同時(shí)具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)的空間理論(線性拓?fù)淇臻g、拓?fù)洵h(huán))研究的開(kāi)創(chuàng)者之一。
他還研究了全有界的距離空間 E 的ε-網(wǎng)中最小可能的點(diǎn)數(shù) 當(dāng) 時(shí)的性狀,作為 E 的特性量引入了ε-熵、ε-容量的概念。將其應(yīng)用于E為連續(xù)函數(shù)空間的子空間的場(chǎng)合〔與 V. M. Tikhomirov 合著, Uspehi (1959)〕。這是泛函分析方面的嶄新的觀點(diǎn)。?
動(dòng)態(tài)系統(tǒng)?
Kolmogorov 對(duì)于古典動(dòng)態(tài)系統(tǒng)有著很深的知識(shí),他寫(xiě)過(guò)幾篇重要的論文(《Proc. ICM》, 1954, Amsterdam, 1, 315-333)。他還研究了一般的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(單參數(shù)保測(cè)變換群?流),引入了「Kolmogorov 流」的概念。作為流的特性量,大家知道有譜型 (Hellinger-Hahn)。 Kolmogorov 又引入了熵這個(gè)新的特性量(《Dokl.》, 124 (1959), 754-755)。毫無(wú)疑問(wèn),這也為新的遍歷理論開(kāi)辟了道路。?
在其它方面,Kolmogorov 也作了許多有名的研究工作。例如 Hilbert 的第13問(wèn)題的否定性解決(參看巖波《數(shù)學(xué)辭典》的 Hilbert 一項(xiàng)),隨機(jī)數(shù)表的考察(Sankhya, A25, 1963),關(guān)于信息論的研究等。?
Kolmogorov 的數(shù)學(xué)教育觀?
Kolmogorov 在莫斯科大學(xué)培養(yǎng)了許多數(shù)學(xué)家,其中不少人已成為國(guó)際上的著名學(xué)者,這一點(diǎn)廣為人知。他還熱心于高中的數(shù)學(xué)教育,自己親自寫(xiě)講義,對(duì)數(shù)學(xué)教育所應(yīng)有的姿態(tài)作了深刻的思考。Kolmogorov 60歲壽辰時(shí)(1963),P.S. Alexandrov 和 B.V. Gnedenko 作了題為「教育家 Kolmogoro」的講演。下面參考此文講述一下 Kolmogorov 的數(shù)學(xué)教育論。蘇聯(lián)的教育制度與日本稍有不同,為小學(xué)(7~10歲)、初中(11~14歲)、高中(15~17歲)、大學(xué)(18歲~20歲),在大學(xué)里數(shù)學(xué)專業(yè)與物理專業(yè)在一個(gè)系(稱作數(shù)學(xué)物理系)里。高中相當(dāng)于日本的高中2年級(jí)到大學(xué)1年級(jí),大學(xué)相當(dāng)于日本的大學(xué)2年級(jí)至碩士研究生。有些類似于日本的舊制高中和大學(xué),大學(xué)畢業(yè)時(shí)要寫(xiě)論文獲取學(xué)位,相當(dāng)于日本的碩士學(xué)位。博士學(xué)位授給大學(xué)畢業(yè)后寫(xiě)過(guò)許多創(chuàng)作論文的特別優(yōu)秀的學(xué)者。?
Kolmogorov 認(rèn)為,有些家長(zhǎng)和教師企圖從10歲~12歲左右的學(xué)生中挖掘有數(shù)學(xué)才能的孩子,這樣做會(huì)害了孩子,但是孩子到了14~16歲時(shí),情況就不一樣了。他們對(duì)數(shù)學(xué)物理的興趣已很清楚地表現(xiàn)了出來(lái),根據(jù) Kolmogorov 在高中教授數(shù)學(xué)物理的經(jīng)驗(yàn),大約有一半的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)物理對(duì)自己僅有很小的作用。對(duì)于這些學(xué)生應(yīng)該安排簡(jiǎn)單內(nèi)容的課程。這樣,另一半的學(xué)生(并不一定他們都要搞數(shù)學(xué)物理專業(yè))的數(shù)學(xué)教育就可以更有效地進(jìn)行。?
高中時(shí)將數(shù)學(xué)物理系、工程系、生物農(nóng)醫(yī)系、杜會(huì)經(jīng)濟(jì)系等各專業(yè)分開(kāi)為好。各系的主要學(xué)科的教授時(shí)間可稍稍增加一點(diǎn)(如數(shù)學(xué)1小時(shí)、物理1小時(shí)等),即使這樣效果也是非常顯著的。各專業(yè)系的教育可以使學(xué)生增強(qiáng)目的意識(shí),而不至于影響有寬度的一般教育。革命初期提出的「統(tǒng)一勞動(dòng)學(xué)校」的口號(hào),并不否定個(gè)人能力的開(kāi)發(fā)與特殊訓(xùn)練,而只是意味著廢除階級(jí)意識(shí)的學(xué)校,消除貧苦人面前的障礙。?
數(shù)學(xué)需要特別的才能這一說(shuō)法在很多情況下是過(guò)于夸張了。數(shù)學(xué)是特別難的科目這一印象可能是產(chǎn)生于笨拙的、極其教條的教學(xué)方法。如果有好的教師和好的教科書(shū),正常的平均程度的人的能力足以消化高中數(shù)學(xué),并進(jìn)一步理解微積分的初步知識(shí)。?
然而,高中生在選擇數(shù)學(xué)作為上大學(xué)的專業(yè)時(shí),自然應(yīng)測(cè)驗(yàn)一下自己對(duì)數(shù)學(xué)的適應(yīng)性。實(shí)際上,在理解(數(shù)學(xué)的)推論、解決問(wèn)題、或作出新的發(fā)現(xiàn)上,其速度、容易程度和成功度是因人而異的。在數(shù)學(xué)專業(yè)教育中,應(yīng)選擇在數(shù)學(xué)領(lǐng)域出成就的可能性大的青年人。?
什么是對(duì)于數(shù)學(xué)的適應(yīng)性呢?Kolmogorov 總結(jié)為以下三點(diǎn):?
(1)算法能力:即對(duì)于復(fù)雜式子作高明的變形,對(duì)于用標(biāo)準(zhǔn)方法解不了的方程式作巧妙的解決的能力(僅記住許多定理、公式是不行的)。?
(2)幾何學(xué)直觀:對(duì)于抽象的東西,能夠在頭腦中像畫(huà)畫(huà)一樣描繪出來(lái)并加以思考。?
(3)一步一步地作邏輯性推理的能力:例如能夠正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法。?
僅有這些能力,而對(duì)研究題目不抱有強(qiáng)烈的興趣、不作持久不斷的研究活動(dòng)的話,還是起不了什么作用。?
在大學(xué)的數(shù)學(xué)教育中,好的教師又是什么樣的呢??
(i)講課高明。如用其它的科學(xué)領(lǐng)域的例子來(lái)吸引學(xué)生。?
(ii)以清晰的解釋和寬廣的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)吸引學(xué)生。?
(iii)善于作個(gè)別指導(dǎo)。清楚每個(gè)學(xué)生的能力,在其能力范圍內(nèi)安排學(xué)習(xí)內(nèi)容,使學(xué)生增強(qiáng)自信心。?
以上每一條都是有價(jià)值的,而理想的教師應(yīng)屬(iii)類型的教師。?
對(duì)于數(shù)學(xué)物理系的學(xué)生的數(shù)學(xué)教育,除了常規(guī)的課程, Kolmogorov 特別強(qiáng)調(diào)了以下兩點(diǎn):
(i)使學(xué)生能夠把泛函分析作為日常工具那樣運(yùn)用自如。?
(ii)重視 practical work。?
我最初對(duì)這個(gè)意思不大明白,最近見(jiàn)到一位曾經(jīng)在莫斯科大學(xué)接受過(guò) Kolmogorov 的指導(dǎo)的先生,便詢問(wèn)了一下,其意思可能是這樣的,例如對(duì)于微分方程式給出具體的系數(shù)和邊界條件(每個(gè)學(xué)生不同),然后讓學(xué)生考察方程式的解的性質(zhì)。?
學(xué)生在開(kāi)始搞研究的時(shí)候,首先必須使其樹(shù)立起「自己能夠搞出點(diǎn)名堂」的自信心。因而在布置研究課題時(shí),不但要考慮「這樣題目的重要性」,還應(yīng)考慮「這個(gè)研究是否能提高學(xué)生的水平」,「是否在學(xué)生的能力范圍內(nèi),而且需要作最大程度的努力才能解決的問(wèn)題」。?
以上就是 Kolmogorov 的數(shù)學(xué)教育論的概略。Kolmogorov 不僅是偉大的數(shù)學(xué)家,也是偉大的教育家,也許說(shuō)是偉大的思想家更合適。
轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/dirichlet/p/5599066.html
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的Kolmogorov 的数学观与业绩的全部?jī)?nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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