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工程與科學(xué)數(shù)值方法的matlab實現(xiàn)(第4版)

[美]Steven C.Chapra 著

林賜 譯

長久以來，人們都習(xí)慣用解析法研究問題。只有解析法無效的時候，才考慮用數(shù)值分析方法來解決問題。所以它一直被當(dāng)做備選項，不被重視。

數(shù)值分析方法是一門實踐性很強(qiáng)的學(xué)科，但是其計算繁瑣、冗長，靠人工計算計算量大讓人望而生畏。隨著計算機(jī)的發(fā)展，尤其出現(xiàn)了一批優(yōu)秀的數(shù)值分析軟件比如MATLAB軟件，完美的解決了數(shù)值分析的缺點，使數(shù)值分析方法被廣泛使用。成為與理論分析、科學(xué)實驗并列的第三種科學(xué)研究手段。

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第1部分建模、計算機(jī)與誤差分析

數(shù)值方法(numerical method)使用公式表示數(shù)學(xué)問題以便可以用算數(shù)和邏輯運算解決這些問題的技術(shù)。數(shù)字計算機(jī)擅長于執(zhí)行算術(shù)和邏輯這類運算。所以數(shù)值方法又稱為計算機(jī)數(shù)學(xué)(computer mathematics)。

數(shù)值方法學(xué)習(xí)的理由：

(1)數(shù)值方法能夠極大地覆蓋所能解決的問題類型，增強(qiáng)問題求解技巧；

(2)數(shù)值方法可以讓用戶更加智慧地使用“封裝過的”軟件；

(3)很多問題不能用封裝的程序解決，可以自我編程解決問題；

(4)數(shù)值方法是學(xué)習(xí)使用計算機(jī)的有效載體；

(5)數(shù)值方法提供了一個能夠增強(qiáng)對數(shù)學(xué)理解的平臺。

第1章 數(shù)學(xué)建模、數(shù)值方法與問題求解

本章目標(biāo)：

(1)學(xué)習(xí)如何基于科學(xué)原理建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而對簡單物理系統(tǒng)的行為進(jìn)行仿真；

(2)理解數(shù)值方法如何提供一種方式以便在數(shù)字計算機(jī)上求得問題的解；

(3)對于工程學(xué)科中使用的各種模型，理解背后的守恒律，正確評價這些模型穩(wěn)態(tài)解和動態(tài)解之間的差異；

(4)學(xué)習(xí)本書中設(shè)計的不同類型的數(shù)值方法。

提出問題：預(yù)測蹦極運動員自由落體階段的速度。

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解：根據(jù)牛頓第二定律就可以建立速度的關(guān)系式：

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根據(jù)空氣流體力學(xué)有：

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整理后有最終的表達(dá)式為：

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其中，v：垂直向下速度(m/s)

t：時間(s)

g：重力加速度(≈9.81m/s2)

Cd：集總阻力系數(shù)(kg/m)

(集總是指它的大小還取決于其它一些因素，比如運動員的表面積和流體密度)

m：為蹦極運動員的體重(kg)

1.1 一個簡單的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型(mathematical model)可以廣義地定義為表達(dá)物理系統(tǒng)或物理過程本質(zhì)特性的公式或方程。

廣義數(shù)學(xué)模型可表示為如下函數(shù)關(guān)系式：應(yīng)變量=f(自變量，參數(shù)，強(qiáng)制函數(shù))

其中，應(yīng)變量(dependent variable)是物理系統(tǒng)的特征，反映了系統(tǒng)的行為或狀態(tài)；

自變量(independent variable)通常為維度，如時間和空間，通過維度確定系統(tǒng)的行為；

參數(shù)(parameter)是系統(tǒng)特性或構(gòu)成的反映；

強(qiáng)制函數(shù)(forcing function)是作用在系統(tǒng)上的外部影響。

(1.1)式的特解為：(具體求解過程見習(xí)題1.1)

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其中tanh為雙曲正切函數(shù)。

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例1.1蹦極問題的解析解：

設(shè)運動員m=68.1kg，空氣阻力Cd=0.25kg/m，g=98.1m/s2，計算t從0~12s內(nèi)自由落體過程中運動員的速度。

解：將相關(guān)數(shù)據(jù)代入(1.2)式簡化后如下式：

V(t)=51.6938tanh(0.18977t)

把時間t=0~12s的值帶入上式，列成表1如下：

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繼續(xù)增加時長到速度不變，如表2：

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從表2可以看出，經(jīng)過足夠長時間后，下降的速度達(dá)到恒定值，即重力與大氣阻力處于平衡，此時的速度即為極限速度。根據(jù)上表可以看出，極限速度為51.6938.繪制的圖形如下：

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式(1.2)又稱為解析解或閉型解。因為它與初始微分方程是精確對應(yīng)的。然而大部分的數(shù)學(xué)模型還不能精確求解，只能盡力逼近精確解的數(shù)值解。

如果(1.1)式無法求得精確解，可以通過下面方法到逼近值：

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上式稱為時刻一階導(dǎo)數(shù)的有限差分逼近。代入式(1.1)可得：

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整理后有：

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將(1.1)式帶入上式，可以將上式簡化為：

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(1.4)式表示新值可以用初始值和斜率及步長有關(guān)，如果能確定這三個值就可以確定下一個值。即：新值=上一時刻的值+斜率*步長

這種方法稱為歐拉法。

例1.2 蹦極問題的數(shù)值解

利用例1.1的數(shù)據(jù)，用歐拉法計算速度。

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當(dāng)步長越小的時候，精確解和近似解越逼近。

1.2 工程與科學(xué)中的守恒律

守恒律：變化量=增加量-減少量

如果變化量=0，增加量=減少量，即為穩(wěn)態(tài)計算。守恒律也可以應(yīng)用到化學(xué)工程、土木工程、機(jī)械工程、電子工程等計算中。

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1.4 案例研究

在以前的學(xué)習(xí)中，假定阻力為取決于速度平方 ，瑞麗爵士給出了更詳細(xì)的表達(dá)式，可以寫為：

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其中，

Fd=阻力(N),

[圖片上傳失敗...(image-2ee934-1585990641587)] =流體密度(kg/m3),

A=垂直于運動方向平面上物體的正面面積(m3),

Cd=無量綱阻力系數(shù)，

v=速度方向的單位向量。

假定了湍流條件(即高雷洛數(shù))的關(guān)系，集總阻力系數(shù)可以表示為：

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即集總阻力系數(shù)取決于物體的面積、流體密度和無量綱阻力系數(shù)。

注意：

對于速度比較低的情況，物體周圍的流動狀態(tài)呈現(xiàn)出層流，并且阻力與速度之間的關(guān)系變成了線性關(guān)系。即所謂的斯托克斯阻力。

由于速度平方后，符號和方向丟失。所以修改模型，使其同時適用于向下和向上的速度。

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待求的微分方程為：

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由此也可以求出位置x(m)：

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利用歐拉法可以將距離方程改成：

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總結(jié)：

修正前的速度：

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修正后的速度：

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帶入已知條件，v(0)=-40,x(0)=0，t=2s，分別求修正前和修正后的速度和位移數(shù)據(jù)：

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從這個圖形可以看出，速度修正值和原來值中間有差值。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的matlab如何输出恒定值,《工程与科学数值方法的MATLAB实现（第4版）》的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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