有限元法求解二維 Poisson 方程的 MATLAB 實現 陳 蓮a ，郭元輝b ，鄒葉童a ( 西華師范大學 a． 數學與信息學院; b． 教育信息技術中心，四川南充 6437009) 摘 要: 文章討論了圓形區域上的三角形單元剖分、有限元空間，通過變分形式離散得到有限元方程． 用 MATLAB 編程求得數值解，并進行了誤差分析． 關鍵詞: Poisson 方程; 有限元方法; MATLAB 編程; 三角形單元剖分中圖分類號: O241． 8 文獻標識碼: A 文章編號: 1009 －4970( 2018) 05 －0015 －04 0 引言 熱學、流體力學、電磁學、聲學等學科中的相關過程，都可以用橢圓型方程來描述． 最為典型的橢圓型方程就是泊松方程［1］． 泊松方程在許多工程領域中有著廣泛的應用，如它可以用來模擬半導體器件的靜電過程． 在實際應用中，求解區域往往是不規則的，因此要想求出問題的解析解是非常困難的，很有必要研究其數值計算方法． 求解偏微分方程數值解常用的方法為有限差分法和有限元方法． 有限元方法是由 20 世紀 50 年代初的工程師們提出，其最初的數學思想是康托提出在三角形網格上用逐片線性函數去逼近 Dirichlet 邊值問題［2］． 有限元方法［3 －4］是基于傳統的 Ｒitz －Galerkin 方法和有限差分方法優點的一種數值方法，相對有限差分方法它更擅長處理各種復雜區域，是求解偏微分方程數值解的一種有效方法． 基于此，結合 MATLAB 強大的數值計算能力和繪圖功能，本文用有限元方法求解圓形區域上的泊松方程，通過 MATLAB 編程實現求解過程． 討論二維 Poisson 方程 － Δu = f( x，y) ， ( x，y) ∈Ω， u =0， ( x，y) ∈Ω{ ， ( 1) 其中 Δu = 2u x2 + 2u y2 ，f( x，y) ∈L2( Ω) ，Ω 為 Ｒ2 中的 有界凸區域，區域 Ω = x，( )y x2 + y2{ }＜1 ． 1 二維 Poisson 方程的有限元法 1． 1 有限元方法的基本原理和步驟 有限元法是基于變分原理和剖分技術的一種數值計算方法，把微分方法的定解問題轉化為求解一 個等價的“變分問題”． 具體步驟如下． 1) 根據微分方程的邊界條件給出對應定解問題的泛函及其等價的變分問題; 2) 選定單元的性狀，對求解區域進行單元剖分，構造單元基函數; 3) 對多元函數的泛函求極值，形成有限元方 程; 4) 處理邊界插值函數，求解有限元方程; 5) 收斂性及誤差分析． 1． 2 Poisson 方程的變分形式 對 u ∈ H2 0( Ω) ， v ∈ H1 0( Ω) ， 在 方 程 － Δu = f( x，y) 兩邊同乘以v，在區域Ω上積分，由 Green 積分公式［5］ 得，  Ω u x v x + u y v  ( ) y dxdy =  Ω fvdxdy ( 2) 收稿日期: 2017 － 09 － 18 基金項目: 西華師范大學創新團隊項目( CXTD2015 － 2) ; 西華師范大學英才基金( 17YC180) 作者簡介: 陳蓮( 1993—) ，女，四川德陽人，碩士． 研究方向: 數值計算．通訊作者: 郭元輝( 1962—) ，男，重慶巴縣人，博士，教授，碩士生導師． 研究方向: 工程模擬與數值計算方法． ·51· 2018 年 5 月第 37 卷 第 5 期 洛陽師范學院學報 Journal of Luoyang Normal Unive

創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二维有限元方程matlab,有限元法求解二维Poisson方程的MATLAB实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。