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• 一、卷積 與 " 線性常系數(shù)差分方程 "
• 二、使用 matlab 求解 " 線性常系數(shù)差分方程 "

一、卷積 與 " 線性常系數(shù)差分方程 "

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" 線性常系數(shù)差分方程 " 不能使用 卷積函數(shù) conv 函數(shù)進行求解 , 因為卷積的右側(cè)沒有 $y(n)$ , 卷積公式如下 :

$$y(n)=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }x(m)h(n?m)=x(n)?h(n)$$

而 " 線性常系數(shù)差分方程 " 如下 :

$$y(n)=\sum _{i=0}^M{b}_{i}x(n?i)?\sum _{i=1}^N{a}_{i}y(n?i)n\ge M$$

在 " 線性常系數(shù)差分方程 " 公式的右側(cè)比 卷積 公式中 , 多了一個 ${\sum }_{i=1}^N{a}_{i}y(n?i)$ 項 , 其中有 $y(n)$ 序列 , 這樣就無法使用 conv 卷積函數(shù)求解 " 線性常系數(shù)差分方程 " ;

二、使用 matlab 求解 " 線性常系數(shù)差分方程 "

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matlab 中 , 使用 filter 函數(shù), 求解 " 線性常系數(shù)差分方程 " ;

參考文檔 :

• filter 函數(shù) : https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/filter.html
• filtic 函數(shù) : https://ww2.mathworks.cn/help/signal/ref/filtic.html

filter 函數(shù)語法如下 :

yn = filter(B, A, xn, xi) xi = filtic(B, A, ys, xs)

" 線性常系數(shù)差分方程 " 公式如下 :

$$y(n)=\sum _{i=0}^M{b}_{i}x(n?i)?\sum _{i=1}^N{a}_{i}y(n?i)n\ge M$$

matlab 中的 filter 函數(shù)中的參數(shù) 與 " 線性常系數(shù)差分方程 " 公式項的對應(yīng)關(guān)系 :

① B 參數(shù) : filter 函數(shù)中的 B 向量

$$B=[b_0,b_1,?,b_M]$$

就是公式中的 $b_i$ , 注意 $i$ 范圍是 $[0,M]$ ;

② A 參數(shù) : filter 函數(shù)中的 A 向量

$$A=[a_1,a_2,?,a_N]$$

就是公式中的 $a_i$ , 注意 $i$ 范圍是 $[1,N]$ ;

③ xn 參數(shù) : 輸入序列 對應(yīng)的 向量 ;

④ xi 參數(shù) : 該參數(shù) 與 ys 和 xs 條件有關(guān) , ys 和 xs 是初始條件向量 , 分別是 :

$$y_s=[y(?1),y(?2),?,y(?N)]$$

$$x_s=[x(?1),x(?2),?,x(?N)]$$

xi 是通過 filtic 函數(shù) 計算出來的 , 需要傳入 $A,B$ 向量 , 和 ys 和 xs 條件 ;

總結(jié)

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