@[toc]

第三章 多維隨機(jī)變量及其分布

二維隨機(jī)變量

定義：設(shè)(X,Y)是二維變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，二元函數(shù)：
F(x,y)=P{(X$\le$x)$?$(Y$\le$y)==P{X$\le$x,Y$\le$y}}
稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)

1.F(x,y)是變量x和y的不減函數(shù)，即對(duì)于任意固定的y，當(dāng)$x_2$>$x_1$時(shí)
F(x,y)$\ge$F($x_1$,y),對(duì)于固定的x，當(dāng)$y_2$>$y_1$時(shí)F(x,$y_2$)$\ge$F(x,$y_1$)
2.0$\le$F(x,y)$\ge$ 1,且
對(duì)于任意固定的y，F($?\infty$,y)=0
對(duì)于任意固定的x，F(x,$?\infty$)=0
F($?\infty$,$?\infty$)=0,F($\infty$,$\infty$)=1


如果二維隨機(jī)變量(X,Y)全部可能取到的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì)，則稱(X,Y)是離散型的隨機(jī)變量
設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)所有可能取的值為($x_i$,$y_j$),i,j=1,2.記P{X=$x_i$,Y=$y_j$}=$P_{ij},i,j=1,2,3....$則由概率的定義有
1.$P_{ij}\ge 0$
2.${\sum }_{i=1}^{\infty }{\sum }_{j=1}^{\infty }{P}_{ij}=1$
3.F(x,y)=${\sum }_{x_i\le x}{\sum }_{y_i\le y}{P}_{ij}$

如果存在非負(fù)的函數(shù)f(x,y)使對(duì)于任意x，y有
F(x,y)=${\int }_{?\infty }^y{\int }_{?\infty }^{x}f(u,v)dudv$
則稱(X,Y)是連續(xù)的二維隨機(jī)變量，函數(shù)f(x,y)稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度
概率密度f(x,y)有以下性質(zhì)：
1.f(x,y)$\ge$ 0
2.${\int }_{?\infty }^{\infty }{\int }_{?\infty }^{\infty }f(x,y)dxdy=F(\infty ,\infty )=1$
3.設(shè)G是xOy平面上的區(qū)域，點(diǎn)(X,Y)落在G內(nèi)的概率為
P{(X,y)$\in$G}=$\int {\int }_{G}f(x,y)dxdy$
4.若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)上連續(xù)，則有
$\frac{{?}^{2}F(x,y)}{?x?y}=f(x,y)$

邊緣分布

條件分布

相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计(三)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。