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第二章 隨機(jī)變量及其概率分布

1、隨機(jī)變量

定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e},X=X{e}是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù).稱X=X{e}為隨機(jī)變量

常用$\xi ,\eta ,\zeta$希臘字母或X，Y，Z表示
有離散型和連續(xù)型
若隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)或無限個(gè)值時(shí)，稱之為 離散型隨機(jī)變量
若隨機(jī)變量取一個(gè)區(qū)間內(nèi)所有實(shí)數(shù)時(shí)，稱之為 連續(xù)型隨機(jī)變量
隨機(jī)變量取值由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果確定

隨機(jī)變量X取某個(gè)值x的事件用記號(hào){X=x}表示，其概率即P{X=x}
一般，若L是實(shí)數(shù)集，將隨機(jī)變量x在L上的取值事件記為{x$\in$L}
其概率記為P{x$\in$L}
P{x$\in$L}=P{e|X(e)$\in$L}

2、離散型隨機(jī)變量及其分布律

若隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)或可數(shù)(可列)無限個(gè)值時(shí)，則稱之為離散型隨機(jī)變量

離散型隨機(jī)變量X的所有可能取的值為$x_k(k=1,2,...)$,X取各個(gè)可能值的概率，即事件{X=$x_k$}的概率，為
P{X=$x_k$}=$p_k$,k=1,2,…
由概率的定義，$p_k$滿足如下兩個(gè)條件：
1.非負(fù)性，$p_k$$\ge$ 0，k=1,2,…
2.規(guī)范性，${\sum }_{k=1}^{\infty }{p}_k=1$，所有概率相加為1

以下是三個(gè)重要的離散型隨機(jī)變量
(一)0-1分布
定義:設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0和1兩個(gè)值，它的分布律是
P{X=k}=$P^k(1?P{)}^{1?k},k=0,1(0<P<1)$
則稱X服從以P為參數(shù)的(0-1)分布或兩點(diǎn)分布

(二)伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布
設(shè)試驗(yàn)E只有兩種可能結(jié)果：A和$\overline{A}$,則稱E為伯努利試驗(yàn)，設(shè)P(A)=p(1<p<1),
此時(shí)P($\overline{A}$)=1-p,將E獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)
P{X=k}=$C_n^k{p}^k(1?p{)}^{n?k},k=0,1,2,3...$
則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，并記為X~B(n,p)
Q
(三)泊松分布
設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,…而取各個(gè)值的概率為
P{X=k}=$\frac{{\lambda }^k{e}^{?\lambda }}{k!},k=0,1,2,3...$
其中$\lambda$>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，記為X~P($\lambda$)

泊松定理：設(shè)$\lambda$>0是一個(gè)常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)$n{p}_n=\lambda$,則對于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k{p}_n^k(1?p_n{)}^{n?k}=\frac{{\lambda }^k{e}^{?\lambda }}{k!}$$
也就是說以n,p為參數(shù)的二項(xiàng)分布的概率值可以由參數(shù)為$\lambda =np$的泊松分布的概率值近似

3、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義:設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)
F(x)=P{X$\le$x},-$\infty$<x<$\infty$
稱為X的分布函數(shù)
對于任意實(shí)數(shù)$x_1$,$x_2$($x_1$<$x_2$),有
P{$x_1$<X$\le$$x_2$}=P{X$\le$$x_2$}-P{X$\le$$x_1$}=F($x_2$)-F($x_1$)

分布函數(shù)F(x)有以下的基本性質(zhì)：
1、F(x)是一個(gè)不減函數(shù)
2、0$\le$F(x)$\le$ 1,且
$$F(?\infty )=\underset{x\to ?\infty }{\lim }F(x)=0$$

$$F(\infty )=\underset{x\to \infty }{\lim }F(x)=1$$

4、連續(xù)隨機(jī)變量及其概率密度

如果對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)函數(shù)f(x),使對于任意實(shí)數(shù)x有
$$F(x)={\int }_{?\infty }^{x}f(t)dt$$
則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度
概率密度f(x)具有以下性質(zhì)：
1、f(x)$\ge$ 0
2、${\int }_{?\infty }^{\infty }f(x)dx=1$
3、對于任意實(shí)數(shù)$x_1$,$x_2$($x_1$$\le$$x_2$),
P{$x_1$<X$\le$ $x_2$}=F($x_2$)-F($x_1$)=${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$
4、若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有F$\prime$(x)=f(x)

對于連續(xù)型隨機(jī)變量X來說，它取任意指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0，即P{X=a}=0

（一）均勻分布

定義：若連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度
$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b?a},x\in (a,b)\\ 0,其他\end{array}$$
則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為X~U(a,b)
易知f(x)$\ge$ 0 ,且${\int }_{?\infty }^{\infty }f(x)dx=1$

性質(zhì)：均勻分布具有等可能性
即對任一長度$l$的子區(qū)間(c,c+$l$),a$\le$c<c+$l$$\le$b,有
P{c<X$\le$c+$l$}=${\int }_c^{c+l}f(x)dx={\int }_c^{c+l}\frac{1}{b?a}dx=\frac{l}{b?a}$
即，服從U(a,b)上的均勻分布的隨機(jī)變量X落入(a,b)中的任意子區(qū)間上的概率只與其區(qū)間長度有關(guān)，與區(qū)間位置無關(guān)
即，X落入(a,b)中的等長度的任意子區(qū)間上是等可能的
X的分布函數(shù)為
F(x)=$?\begin{array}{l}0,x<a\\ \frac{x?a}{b?a},a\le x<b\\ 1,x\ge b\end{array}$

(二)指數(shù)分布

若連續(xù)型堆積變量X的概率密度為
$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\theta }{e}^{?x/\theta },x>0\\ 0，其他\end{array}$
其中$\theta$>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為$\theta$的指數(shù)分布，記為X~E($\lambda$)
易知f(x)$\ge$ 0 ,且${\int }_{?\infty }^{\infty }f(x)dx=1$
分布函數(shù)為
F(x)=$\{\begin{array}{l}1?e^{?x/\theta },x>0\\ 0，其他\end{array}$

性質(zhì)：指數(shù)分布具有無記憶性
對于s,t>0,有
P(X>s+t|X>s)=P{X>t}

(三)正態(tài)分布

性質(zhì)：
1.f(x)關(guān)于x=$\mu$對稱
2.當(dāng)x$\le$$\mu$時(shí)，f(x)是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)
3.f(max)=f($\mu$)=$\frac{1}{2\sqrt{\pi }\sigma }$
4.$\underset{|x?\mu |\to \infty }{\lim }f(x)=0$

$\mu$為位置參數(shù)
$\sigma$為尺度參數(shù)，$\sigma$越小，圖形越高越瘦，$\sigma$越大，圖形越矮越胖

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
當(dāng)$\mu$=0，$\sigma$=1時(shí)
概率密度用$\phi$(x)表示，分布函數(shù)用$?$(x)表示

5、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计(二)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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