UA OPTI544 量子光学13 场的量子化描述
UA OPTI544 量子光學13 場的量子化描述
- 簡諧運動的經典力學與量子力學模型
- 經典力學
- 量子力學
- 一維標量場的量子化
在量子光學開篇就提到過,對光學的理解大致分為三個層次,
- Classical Description:經典電動力學描述光、經典力學描述介質粒子
- Semi-classical Description:經典電動力學描述光、量子力學描述介質粒子
- Quantum Description:量子電動力學描述光、量子力學描述介質粒子
Classical和Semi-classical Description我們已經討論過了,這一講開始討論quantum description。為此,首先要回答的問題就是如何將場量子化。
我們從簡諧振動的經典力學模型出發,將其與量子諧振子進行對比,以此為基礎,我們嘗試推導一維振動產生的簡單標量場的量子力學模型。
簡諧運動的經典力學與量子力學模型
經典力學
在光滑的地面上放著一個彈性系數為kkk的一端固定的彈簧連接的質量為mmm的質點,用qqq表示質點沿彈簧拉長方向的位移,w=k/mw=\sqrt{k/m}w=k/m?代表這個系統的固有振動頻率,則這個系統的動能與勢能分別為
T=12mq˙2,V=12kq2=12mw2q2T=\frac{1}{2}m\dot q^2,V=\frac{1}{2}k q^2=\frac{1}{2}mw^2q^2T=21?mq˙?2,V=21?kq2=21?mw2q2
從牛頓力學的角度考慮,這個系統滿足能量守恒,所以動能的變化率與勢能的變化率之和必為0,即
T˙+V˙=0?q¨+w2q=0\dot T+\dot V=0 \Rightarrow \ddot q+w^2q=0T˙+V˙=0?q¨?+w2q=0
這就是系統的運動方程,它的解為q=q0e?iwtq=q_0e^{-iwt}q=q0?e?iwt,既然系統滿足能量守恒,那么定義總能量為E0E_0E0?,它一定是一個常數,并且滿足
E0=∣T+V∣?q0=2E0mw2?p0=mwq0=2mE0E_0=|T+V| \Rightarrow q_0=\sqrt \frac{2E_0}{mw^2}\Rightarrow p_0=mw q_0=\sqrt {2mE_0}E0?=∣T+V∣?q0?=mw22E0????p0?=mwq0?=2mE0??
下面介紹經典力學中建立系統運動方程的兩種通用方法:
拉格朗日力學
系統的Lagrangian為
L=T?V=12mq˙2?12mw2q2L=T-V=\frac{1}{2}m\dot q^2-\frac{1}{2}mw^2q^2L=T?V=21?mq˙?2?21?mw2q2
根據Lagrange方程??t?L?q˙??L?q=0\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0?t???q˙??L???q?L?=0(?L?q˙\frac{\partial L}{\partial \dot q}?q˙??L?是由廣義速度q˙\dot qq˙?定義的共軛動量,?L?q˙=p=mq˙\frac{\partial L}{\partial \dot q}=p=m\dot q?q˙??L?=p=mq˙?)可得系統的運動方程為
q¨+w2q=0\ddot{q}+w^2q=0q¨?+w2q=0
哈密頓力學
系統的Hamiltonian為
H=T(q˙=p/m)+V(q)=p22m+12mw2q2H=T(\dot q=p/m)+V(q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}mw^2q^2H=T(q˙?=p/m)+V(q)=2mp2?+21?mw2q2
根據哈密頓方程,
{q˙=?H?p=p/mp˙=??H?q=?mw2q\begin{cases} \dot q = \frac{\partial H}{\partial p} = p/m \\ \dot p = -\frac{\partial H}{\partial q}=-mw^2q \end{cases}{q˙?=?p?H?=p/mp˙?=??q?H?=?mw2q?
聯立這兩個方程,消去動量ppp可得系統的運動方程為
q¨+w2q=0\ddot q+w^2q=0q¨?+w2q=0
由此可以印證,牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學在最簡單的一維彈簧振子的建模上可以得到一致的結果。另外,在哈密頓力學所定義的相空間(q/q0,p/p0)(q/q_0,p/p_0)(q/q0?,p/p0?)中,系統的相位按順時針方向以角頻率www做圓周運動。
量子力學
在570的17-20講中我們討論了量子諧振子(Q.H.O.)模型,這里簡單回顧一下我們建模的思路。從上述彈簧振子的哈密頓力學模型出發,因為最重要的兩個描述系統狀態的變量是動量ppp與位移qqq,所以要建立量子力學模型,我們需要用厄爾米特算符表示這兩個物理量,記為p^\hat pp^?與q^\hat qq^?,根據我們在量子力學中已經有的結論,這兩個算符的對易滿足
[q^,p^]=i?[\hat q,\hat p]=i\hbar[q^?,p^?]=i?
定義E0=?w,q0=2?mw,p0=2m?wE_0=\hbar w,q_0=\sqrt \frac{2 \hbar}{mw},p_0=\sqrt{2m\hbar w}E0?=?w,q0?=mw2???,p0?=2m?w?(?w\hbar w?w是量子力學的natural scale,q0,p0q_0,p_0q0?,p0?根據經典力學中能量與位移的幅度、動量的幅度的關系寫出),記Q=q^/q0,P=p^/p0Q=\hat q/q_0,P=\hat p/p_0Q=q^?/q0?,P=p^?/p0?,則系統的狀態可以用annihilation operator a=Q+iPa=Q+iPa=Q+iP表示。定義Number Operator N=a?aN=a^{\dag}aN=a?a,則系統的哈密頓算符為
H=?w(Q2+P2)=?w(N+12)H=\hbar w(Q^2+P^2)=\hbar w(N+\frac{1}{2})H=?w(Q2+P2)=?w(N+21?) 上述算符的特征方程為(具體推導參考UA OPTI570 量子力學17 創生算符與湮滅算符與UA OPTI570 量子力學18 量子諧振子基礎)
a∣n?=n∣n?1?a?∣n?=n+1∣n+1?N∣n?=n∣n?H∣n?=?w(n+12)∣n?a|n \rangle = \sqrt n |n-1 \rangle \\ a^{\dag}|n \rangle = \sqrt {n+1}|n+1 \rangle \\ N|n \rangle = n|n\rangle \\H|n \rangle = \hbar w (n+\frac{1}{2})|n \ranglea∣n?=n?∣n?1?a?∣n?=n+1?∣n+1?N∣n?=n∣n?H∣n?=?w(n+21?)∣n?
并且任意激發態∣n?|n \rangle∣n?都可以用基態∣0?|0\rangle∣0?與creation operator a?a^{\dag}a?表示:
∣n?=1n!(a?)n∣0?|n \rangle = \frac{1}{\sqrt {n!}}(a^{\dag})^n|0 \rangle∣n?=n!?1?(a?)n∣0?
一維標量場的量子化
考慮一維縱波的位移標量場η(x,t)\eta(x,t)η(x,t)(這里的xxx的含義變成了一維空間的坐標),假設質量的線密度為μ\muμ,楊氏模量為γ\gammaγ,則標量場的動能與勢能的線密度為
dTdx=12μηt2,dVdx=12γηx2\frac{dT}{dx}=\frac{1}{2}\mu \eta_t^2,\frac{dV}{dx}=\frac{1}{2}\gamma \eta_x^2dxdT?=21?μηt2?,dxdV?=21?γηx2?
其中ηt=?η?t,ηx=?η?x\eta_t=\frac{\partial \eta}{\partial t},\eta_x=\frac{\partial \eta}{\partial x}ηt?=?t?η?,ηx?=?x?η?。
我們可以將這樣的標量場用串聯的彈簧振子近似。考慮NNN個前文中敘述的彈簧振子,假設彈簧原長為aaa,第jjj個彈簧振子的位移為xjx_jxj?,并且當N→∞N \to \inftyN→∞時,有m/a→μ,ka→γ,{xj}→η(x)m/a \to \mu,ka \to \gamma,\{x_j\} \to \eta(x)m/a→μ,ka→γ,{xj?}→η(x),則
T≈∑j=1N12mx˙j2,V≈∑j=1N?112k(xj+1?xj)2T \approx \sum_{j=1}^N \frac{1}{2}m\dot x_j^2,V \approx \sum_{j=1}^{N-1} \frac{1}{2}k(x_{j+1}-x_j)^2T≈j=1∑N?21?mx˙j2?,V≈j=1∑N?1?21?k(xj+1??xj?)2
在有了動能與勢能的表達式后,我們可以用前文提到的牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學方法得到場的運動方程:ηtt?ν2ηxx=0\eta_{tt}-\nu^2\eta_{xx}=0ηtt??ν2ηxx?=0
其中ηtt\eta_{tt}ηtt?表示η\etaη對時間的二階偏導,ηxx\eta_{xx}ηxx?表示η\etaη對空間坐標的二階偏導,ν=γμ\nu=\frac{\gamma}{\mu}ν=μγ?。因為這個運動方程與ηxt\eta_{xt}ηxt?無關,所以我們可以嘗試用分離變量法推導這個二階PDE的特殊解。假設η(x,t)=g(t)u(x)=g0eiwtu(x)\eta(x,t)=g(t)u(x)=g_0e^{iwt}u(x)η(x,t)=g(t)u(x)=g0?eiwtu(x),代入到運動方程中,
ηtt?ν2ηxx=?w2g(t)u(x)?ν2g(t)u′′(x)=0u′′(x)+K2u(x)=0,K=w/ν\eta_{tt}-\nu^2\eta_{xx}=-w^2g(t)u(x)-\nu^2 g(t)u''(x)=0 \\ u''(x)+K^2u(x)=0,K=w/\nuηtt??ν2ηxx?=?w2g(t)u(x)?ν2g(t)u′′(x)=0u′′(x)+K2u(x)=0,K=w/ν
假設這個場只存在于[0,l][0,l][0,l]內,則uuu的通解為
uK(x)=2lsin?(Kx)u_K(x)=\sqrt \frac{2}{l}\sin (Kx)uK?(x)=l2??sin(Kx)
這個形式的波被稱為normal mode,其中KlKlKl必須是π\piπ的整數倍。記qK(t)=eiwKtq_K(t)=e^{iw_Kt}qK?(t)=eiwK?t,則η(x,t)\eta(x,t)η(x,t)的解可以表示為
η(x,t)=l∑KqK(t)uK(x)\eta(x,t)=\sqrt l \sum_K q_K(t)u_K(x)η(x,t)=l?K∑?qK?(t)uK?(x)
這個公式被稱為場的normal mode decomposition。定義M=μlM=\mu lM=μl,將normal mode decomposition代入動能與勢能的表達式中可得
T=∑K12Mq˙K2,V=∑K12MwK2qK2T=\sum_K\frac{1}{2}M\dot q_K^2,V = \sum_K \frac{1}{2}Mw_K^2q_K^2T=K∑?21?Mq˙?K2?,V=K∑?21?MwK2?qK2?
定義LK=12Mq˙K2?12MwK2qK2L_K=\frac{1}{2}M\dot q_K^2- \frac{1}{2}Mw_K^2q_K^2LK?=21?Mq˙?K2??21?MwK2?qK2?,系統的Lagrangian為
L=∑KLK=∑K12Mq˙K2?∑K12MwK2qK2L = \sum_{K} L_K =\sum_K\frac{1}{2}M\dot q_K^2-\sum_K \frac{1}{2}Mw_K^2q_K^2 L=K∑?LK?=K∑?21?Mq˙?K2??K∑?21?MwK2?qK2?
動量為pK=Mq˙Kp_K=M\dot q_KpK?=Mq˙?K?。系統的Hamiltonian為
H=∑K(12Mq˙K2+12MwK2qK2)=∑KHKH=\sum_K \left( \frac{1}{2}M\dot q_K^2+ \frac{1}{2}Mw_K^2q_K^2\right)=\sum_{K}H_KH=K∑?(21?Mq˙?K2?+21?MwK2?qK2?)=K∑?HK?
因此場的哈密頓量可以分解為一系列量子諧振子的哈密頓量之和,每一個量子諧振子代表一個normal mode。根據這些推導,我們只需要把代表每個normal mode的諧振子量子化再加總就能得到場的量子化的相關結論了。哈密頓量算符、位移算符、動量算符為
H=∑K?wK(aK?aK+12)η=∑Klqo,K2(aKuK(x)+aK?uk?(x))Π=?i∑Kp0,K2L(aKuK(x)?aK?uk?(x))H=\sum_K \hbar w_K (a_K^{\dag}a_K+\frac{1}{2}) \\ \eta = \sum_K \sqrt {l q^2_{o,K}}(a_K u_K(x)+a^{\dag}_Ku^*_k(x)) \\ \Pi = -i \sum_K \sqrt \frac{p_{0,K}^2}{L}(a_K u_K(x)-a^{\dag}_Ku^*_k(x))H=K∑??wK?(aK??aK?+21?)η=K∑?lqo,K2??(aK?uK?(x)+aK??uk??(x))Π=?iK∑?Lp0,K2???(aK?uK?(x)?aK??uk??(x))
其中aK,aK?,pK,qKa_K,a_K^{\dag},p_K,q_KaK?,aK??,pK?,qK?只作用在第KKK個mode上,并且
[η(x),Π(x′)]=i?δ(x?x′)[\eta(x),\Pi(x')]=i\hbar \delta(x-x')[η(x),Π(x′)]=i?δ(x?x′)
另外,加總后的量子態空間就是所有這些諧振子的態空間的張量積。
《新程序員》:云原生和全面數字化實踐50位技術專家共同創作,文字、視頻、音頻交互閱讀總結
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