Log Cauchy分布的一個Hierarchical模型：LC=Gamma+Gamma+Unif

• • 一個重要公式：$\Gamma (z)\Gamma (1?z)=\frac{\pi }{\sin (\pi z)}$
  • 分層模型的證明

如果$X$服從對數柯西分布$LC(0,\pi )$，則它可以用下面的分層模型表示：
$$\begin{array}{rl}X|Y,Z& ～\text{Gamma}(Z,Y)\\ Y|Z& ～\text{Gamma}(1?Z,1)\\ Z& ～\text{Unif}(0,1)\end{array}$$

這篇博客記錄一下這個分層模型的證明。

一個重要公式：$\Gamma (z)\Gamma (1?z)=\frac{\pi }{\sin (\pi z)}$

第一步 Beta函數的定義是
$$\mathrm{B}(x,y)={\int }_0^{\infty }\frac{t^{x?1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}$$

令$x=z,y=1?z$，則
$$\Gamma (z)\Gamma (1?z)={\int }_0^{\infty }\frac{t^{z?1}}{1+t}dt$$

定義復變函數$$g(t)=\frac{t^{z?1}}{1+t}$$

考慮上圖所示的contour $C$，$\gamma$與$\Gamma$是以$?1$為中心的圓，則
$${\int }_{C}gdt={\int }_{\Gamma }gdt+{\int }_{\gamma }gdt+{\int }_0^{\infty }gdt?{\int }_0^{\infty }\frac{(t{e}^{2\pi i}{)}^{z?1}}{1+t}dt$$

假設$\gamma$的半徑非常小，$\Gamma$的半徑非常大，根據留數定理
$$\begin{gathered} {\int }_{\Gamma }gdt+{\int }_{\gamma }gdt=2\pi iRes(g;?1)?2\pi iRes(g;?1)=0 \\ {\int }_{C}gdt=2\pi iRes(g;?1)=2\pi i{e}^{i\pi (z?1)} \end{gathered}$$

所以
$$\begin{gathered} [1?e^{i2\pi (z?1)}]{\int }_0^{+\infty }gdt=2\pi i{e}^{i\pi (z?1)} \\ {\int }_0^{+\infty }gdt=\frac{\pi }{\sin (\pi z)} \end{gathered}$$

分層模型的證明

$$f(x,y,z)=\frac{y^z{x}^{z?1}}{\Gamma (z)}{e}^{?xy}\frac{y^{?z}}{\Gamma (1?z)}{e}^{?y}=\frac{x^{z?1}{e}^{?(x+1)y}}{\Gamma (z)\Gamma (1?z)}$$

其中$$\Gamma (z)\Gamma (1?z)=\frac{\pi }{\sin (\pi z)}$$

于是聯合密度為
$$f(x,y,z)=\frac{x^{z?1}{e}^{?(x+1)y}\sin (\pi z)}{\pi }$$

下面計算積分：
$$\begin{array}{rl}f(x,z)& ={\int }_0^{+\infty }\frac{x^{z?1}{e}^{?(x+1)y}\sin (\pi z)}{\pi }dy=\frac{x^z\sin (\pi z)}{\pi x(x+1)}\\ f(x)& ={\int }_0^1\frac{x^z\sin (\pi z)}{\pi x(x+1)}dz=\frac{1}{\pi x(x+1)}\frac{\pi (x+1)}{{\pi }^2+{\ln }^2(x)}\\ & =\frac{1}{x}\frac{1}{{\pi }^2+{\ln }^2(x)}\end{array}$$

這正好是$LC(0,\pi )$的密度。

最后一步需要用到積分
$${\int }_0^1{x}^z\sin (\pi z)dz=\frac{\pi (x+1)}{{\pi }^2+{\ln }^2(x)}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Log Cauchy分布的一个Hierarchical模型：LC=Gamma+Gamma+Unif的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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