UA OPTI512R 傅立葉光學導論20 夫瑯禾費衍射

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Fraunhofer衍射的推導

從波的傳播公式開始
$$u_2(x_2,y_2)={?}_{?\infty }^{+\infty }{u}_1(x_1,y_1)\frac{z}{j\lambda r}\frac{e^{jkr}}{r}d{x}_{1}d{y}_1$$

我們上一講用small angle approximation計算了Fresnel衍射的公式：
$$u_2(x_2,y_2)=\frac{e^{jkz}}{j\lambda z}{?}_{?\infty }^{+\infty }{u}_1(x_1,y_1)\underset{quadracticwavefront}{e^{j\frac{\pi }{\lambda z}[(x_2?x_1{)}^2+(y_2?y_1{)}^2]}}d{x}_{1}d{y}_1$$

它的含義是在Fresnel field中，我們可以用二次曲面波作為對波源的近似；在Frauhofer field中，這個近似依然成立，但此時$x_1^2+y_1^2<<z^2$，由此可以對上式做進一步近似，
$$\begin{array}{rl}\frac{\pi }{\lambda z}[(x_2?x_1{)}^2+(y_2?y_1{)}^2]& =\frac{\pi }{\lambda z}(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2?2x_1{y}_1?2x_2{y}_2)\\ & \approx \frac{\pi }{\lambda z}(x_2^2+y_2^2?2x_1{x}_2?2y_1{y}_2)\end{array}$$

代入到Fresnel衍射的公式中可得
$$u_2(x_2,y_2)=\frac{e^{jkz}}{j\lambda z}{e}^{j\frac{\pi }{\lambda z}(x_2^2+y_2^2)}{?}_{?\infty }^{+\infty }{u}_1(x_1,y_1)e^{?j\frac{2\pi }{\lambda }(x_1{x}_2+y_1{y}_2)}d{x}_{1}d{y}_1$$

綜上，用$L_1$表示衍射的apperture size（比如小孔的孔徑、單縫的縫寬），當$z>>\frac{\pi L_1^2}{\lambda }$時，觀察到的衍射為夫瑯禾費衍射，對應的波形為
$$\begin{array}{rl}{u}_2(x_2,y_2)& =\frac{e^{jkz}}{j\lambda z}{e}^{j\frac{\pi }{\lambda z}(x_2^2+y_2^2)}{?}_{?\infty }^{+\infty }{u}_1(x_1,y_1)e^{?j\frac{2\pi }{\lambda }(x_1{x}_2+y_1{y}_2)}d{x}_{1}d{y}_1\\ & =\frac{e^{jkz}}{j\lambda z}{e}^{j\frac{\pi }{\lambda z}(x_2^2+y_2^2)}\mathcal{F}[u_1(x_1,y_1)](\xi =\frac{x_2}{\lambda z},\eta =\frac{y_2}{\lambda z})\end{array}$$

例 考慮單孔衍射，單孔半徑為$L_1=1cm$，波長為$1\mu m$，觀測者與單孔距離為$z>>314m$，也就是此時觀測者觀察到的衍射現象為夫瑯禾費衍射。

$z$的大小與衍射類型總結
$L_1$表示衍射的apperture size（比如小孔的孔徑、單縫的縫寬），$L_2$表示觀測儀器的大小（比如方形白色屏幕的寬），$z$表示apperture到觀測者的距離，$\lambda$表示光的波長

衍射類型條件本質

夫瑯禾費衍射	$z>>\frac{\pi L_1^2}{\lambda }$	平面波近似任意波源
菲涅爾衍射	$z^3>>\frac{\pi }{4\lambda }(L_1+L_2{)}^4$	二次曲面波近似任意波源
瑞利-索墨菲衍射（近場衍射）	不滿足上面兩個條件時	球面波近似任意波源

總結

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