電動力學每日一題 2021/10/23 載流板產生的電磁場

• • 載流板的輻射

載流板的輻射

先驗證電荷守恒：
$$\frac{?\rho }{?t}=???\text{J}=?\frac{?}{?z}{J}_z=0$$

這說明雖然在這塊載流板上存在交流電，但總電荷量并沒有變化。

在10/19的題目中我們討論了對含$\cos (w_{0}t)$這一項的函數直接做Fourier變換在后續計算中會出現發散的積分，無法得到有物理意義的結果。所以我們假設$w_0=w^{\prime }+i{w}^{\prime \prime }$，在最后結果中取$w^{\prime \prime }\to 0$，
$$\text{J}=J_{s0}\delta (y)\frac{e^{i{w}_0^{?}t}+e^{?w_{0}t}}{2}\hat{z}$$

然后計算$\text{J}$的Fourier變換，
$$\begin{array}{rl}\text{J}(\text{k},w)& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }\text{J}(\text{r},t)e^{?i\text{k}?\text{r}}d\text{r}\\ & =\frac{J_{s0}}{2}{\int }_{?\infty }^{+\infty }\delta (y)e^{i{w}_0^{?}t}{e}^{?i\text{k}?\text{r}}d\text{r}dt+\frac{J_{s0}}{2}{\int }_{?\infty }^{+\infty }\delta (y)e^{?w_{0}t}{e}^{?i\text{k}?\text{r}}d\text{r}dt\\ & =2{\pi }^2{J}_{s0}\delta (k_x)\delta (k_z)e^{?i{w}_{0}t}\hat{z}+2{\pi }^2{J}_{s0}\delta (k_x)\delta (k_z)e^{i{w}_0^{?}t}\hat{z}\end{array}$$

下面分別計算這兩項產生的矢量勢，第一項產生的矢量勢為
$$\begin{array}{rl}& (2\pi {)}^{?3}{\int }_{?\infty }^{+\infty }\frac{2{\pi }^2{\mu }_0{J}_{s0}\delta (k_x)\delta (k_z)e^{?i{w}_{0}t}\hat{z}}{k^2?(w_0/c{)}^2}{e}^{i\text{k}?\text{r}}d\text{k}\\ =& \frac{{\mu }_0{J}_{s0}{e}^{?i{w}_{0}t}\hat{z}}{4\pi }{\int }_{?\infty }^{+\infty }\frac{e^{i{k}_{y}y}}{k_y^2?(w_0/c{)}^2}d{k}_y\\ =& \frac{{\mu }_0{J}_{s0}{e}^{?i{w}_{0}t}\hat{z}}{4\pi }\frac{\pi e^{i{w}_0|y|/c}}{?i{w}_0/c}=\frac{i{Z}_0{J}_{s0}}{4w_0}{e}^{?i{w}_0(t?|y|/c)}\hat{z}\end{array}$$

其中
$$c=\sqrt{\frac{1}{{\mu }_0{?}_0}},Z_0=\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{?}_0}}$$

第二項產生的矢量勢為，
$$\frac{i{Z}_0{J}_{s0}}{4w_0}{e}^{i{w}_0^{?}(t?|y|/c)}\hat{z}$$

當$w^{\prime \prime }\to 0$時，$w_0=w_0^{?}$，
$$\begin{array}{rl}\text{A}(\text{r},t)& =\frac{i{Z}_0{J}_{s0}\hat{z}}{4w_0}[e^{i{w}_0^{?}(t?|y|/c)}+e^{?i{w}_0(t?|y|/c)}]\\ & =\frac{Z_0{J}_{s0}}{2w_0}\sin (w_0(t?|y|/c))\hat{z}\end{array}$$

接下來要計算Electric field與Magnetic field，就懶得寫了

總結

以上是生活随笔為你收集整理的电动力学每日一题 2021/10/23 载流板产生的电磁场的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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