UA OPTI570 量子力學(xué)22 2-D Isotropic Q.H.O.簡(jiǎn)介

• • 基本概念
  • 2-D state的矩陣表示

基本概念

這一講介紹一個(gè)2-D量子諧振子的例子作為量子諧振子這部分的結(jié)尾?？紤]2-D Isotropic Q.H.O.，
$$\begin{gathered} V=V_x+V_y=\frac{1}{2}m{w}^2(X^2+Y^2) \\ H=H_x+H_y=\frac{P_x^2+P_y^2}{2m}+\frac{1}{2}m{w}^2(X^2+Y^2) \end{gathered}$$

定義湮滅算符
$$\begin{gathered} a_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{X}{\sigma }+\frac{i\sigma P_x}{?}\right) \\ {a}_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{Y}{\sigma }+\frac{i\sigma P_y}{?}\right) \end{gathered}$$

Coherent state滿(mǎn)足
$$\begin{gathered} a_x|{\alpha }_x?={\alpha }_x|{\alpha }_x?,{\alpha }_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{?X?}{\sigma }+\frac{i\sigma ?P_x?}{?}\right),|{\alpha }_x?=e^{?\frac{|{\alpha }_x{|}^2}{2}}\sum _{n_x=0}^{+\infty }\frac{{\alpha }_x^{n_x}}{\sqrt{n_x!}}|n_x? \\ {a}_y|{\alpha }_y?={\alpha }_y|{\alpha }_y?,{\alpha }_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{?Y?}{\sigma }+\frac{i\sigma ?P_y?}{?}\right),|{\alpha }_y?=e^{?\frac{|{\alpha }_y{|}^2}{2}}\sum _{n_y=0}^{+\infty }\frac{{\alpha }_y^{n_y}}{\sqrt{n_y!}}|n_y? \end{gathered}$$

記x與y方向的energy eigenstate分別為${\mathcal{E}}_x=\{|n_x?\}$與${\mathcal{E}}_y=\{|n_y?\}$，則系統(tǒng)的energy eigenstate為
$$\mathcal{E}=\{|n_x,n_y?\}={\mathcal{E}}_x?{\mathcal{E}}_y$$

其中$?$表示張量積。所以
$$|{\alpha }_x,{\alpha }_y?=e^{?\frac{|{\alpha }_x{|}^2}{2}}{e}^{?\frac{|{\alpha }_y{|}^2}{2}}\sum _{n_x,n_y=0}^{+\infty }\frac{{\alpha }_x^{n_x}{\alpha }_y^{n_y}}{\sqrt{n_x!}\sqrt{n_y!}}|n_x,n_y?$$

某一方向上的哈密頓量的作用為
$$H_x|n_x,n_y?=H_x{1}_y|n_x,n_y?=(H_x|n_x?)?(1|n_y?)=?w(n+1/2)|n_x,n_y?$$

湮滅算符的作用為
$$\begin{gathered} a_x|{\alpha }_x,{\alpha }_y?={\alpha }_x|{\alpha }_x,{\alpha }_y? \\ {a}_x{a}_y|{\alpha }_x,{\alpha }_y?={\alpha }_x|{\alpha }_x,{\alpha }_y? \\ {a}_x{a}_y^{?}|n_x,n_y?=\sqrt{n_x}\sqrt{n_y+1}|n_x?1,n_y+1?,n_x\ge 1 \end{gathered}$$

Displacement Operator的作用為
$$D_x({\alpha }_x)D_y({\alpha }_y)|n_x=0,n_y=0?=|{\alpha }_x,{\alpha }_y?$$

2-D state的矩陣表示

按先y后x的順序，比如$n_x,n_y=0,1,2$，
$$\mathcal{E}=\{|00?,|01?,|10?,|02?,|11?,|20?,|12?,|21?,|22?\}$$

這幾個(gè)狀態(tài)的向量表示為$e_1,e_2,?,e_8$，哈密頓量的矩陣表示為
$$?w?diag(1,2,2,3,3,3,4,4,5)$$

如果某個(gè)量子態(tài)滿(mǎn)足
$$|\psi ?=\sum _{n_x,n_y}{c}_{n_x,n_y}|n_x,n_y?$$

總結(jié)

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